例析基于類比遷移理論的數學公式表征水平

郭志勇

一、問題提出

在學習新的原理時，通常需要給學習者提供樣例來對該原理進行說明，學習者在解決新的問題時往往要將新問題與先前樣例進行類比而尋找解決方法，這是個類比遷移過程. Holyoak等人指出，類比遷移過程有兩個主要環節，第一是類比源的選取，即搜索記憶中可供參考的解決方法或可供參照利用的例子，以確定新問題應該用哪個原理去解決，這個環節稱為原理通達;第二是關系匹配或一一映射，即把新問題與樣例的各個部分進行匹配產生解決問題的方法，這個過程稱為原理運用.

作為數學原理形式之一的數學公式，在解題中顯然存在原理通達和原理運用兩個環節，但用好這兩個環節并非易事. 一個典型的例子就是高考解析幾何試題中韋達定理的運用，學生在直線與圓錐曲線關系的高考訓練中，幾乎是圍繞韋達定理進行，可是，解析幾何仍然圓滿地完成了高考考查的任務，沒有給考生輕易得分機會. 事實表明，這兩個環節有著更為復雜的認知過程和表征形式，本文以高考試題為例，以韋達定理在高考解析幾何試題中的應用為載體，從知識表征角度討論原理通達和原理運用這兩個環節，試圖揭示其中的困惑.

二、韋達定理表征水平解析

心理學家Ross設計的一系列巧妙的樣例實驗表明，在解題時所遇到問題和學過的問題的題設條件相似時，題設條件明顯地影響原理通達，如果解題者遇到的問題與學過的問題所“套用”公式的程序一樣時，題設條件中的隱含條件將影響數學原理運用，或可致使原理運用失敗.

根據這個結論，我們根據題設條件將原理通達劃分為簡單通達和復雜通達兩個層次，將原理運用劃分為簡單運用和復雜運用兩個層次. 本文剖析一道高考試題以說明原理通達和原理運用這兩個環節. 為行文簡潔，以下將所引高考試題重新表述，但不改變原試題結構.

引例（2011浙江理21第2問）：如圖1，已知拋物線C1 ： x2=y，圓C2 ： x2+（y-4）2=1的圓心為點M，已知點P是拋物線C1上異于原點的點，過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A、B兩點. 若過M，P兩點的直線l垂直于直線AB，求直線l的方程.

分析：直接想法是，若按題設條件直接由過A，B兩點的直線方程聯立拋物線C1，構成一元二次方程得到根與系數的關系，從而完成第一個環節“原理通達”，但此法顯然行不通.

若挖掘隱含條件以簡化坐標點的設置，并利用已知半徑加上切線方程構成一元二次方程，由此可完成“原理通達”：

設點P（t， t2），A（t1， t21），B（t2， t22）.

直線PA的方程為y=（t1+t）（x-t）+t2，即（t1+t）x-y-t1 t=0. 由于直線PA與圓C2相切，故=1，化簡得：

（t2-1）t21+6tt1+15-t2=0.

同理，由直線PB與圓C2相切可得：

（t2-1）t22+6tt2+15-t2=0.

由此我們可將t1，t2視為關于T的一元二次方程（t2-1）T 2+6tT+15-t2=0的兩根.顯然t≠±1，有t1+t2=-……①.

至此，獲得公式①（根與系數的關系），完成類比推理的第一個環節“原理通達” .

獲得根與系數關系后，需將該關系式用以解題，這個過程就是“原理運用”，引例顯然需要創造條件才能使用公式①：

直線AB的斜率kAB=t1+t2，以及直線l的斜率kl=■，而klkAB=-■·■=-1，解得t2=■，故kl =±■，從而y=±■x+4.

容易觀察到，將直線AB的斜率kAB變形方可應用公式①并最終獲得答案，至此，我們完成類比推理的第二個環節“原理運用”.

由上分析可知，原理通達可分為簡單原理通達和復雜原理通達，原理運用可分為簡單原理運用和復雜原理運用，據此可組合成四個水平的原理通達與原理運用情形：公式簡單通達、公式簡單運用，公式簡單通達、公式復雜運用，公式復雜通達、公式簡單運用，公式復雜通達、公式復雜運用. 顯然，引例是公式復雜通達、公式復雜運用的水平，下面我們用高考試題解析每個環節的層次性.

三、例析公式表征的4種水平

水平1：公式簡單通達，公式簡單運用

例1（2016全國Ⅰ理 20第2問）：設圓A： x2+y2+2x-15=0和橢圓C：■+■=1，直線l過點B（1，0）與x軸不重合，且交C于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

簡單通達：設M（x1， y1），N（x2， y2 ），直線l為y=k（x-1）（k≠0），

由y=k（x-1）■+■=1得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，

有x1+x2 =■，x1x2 =■，

簡單運用：MN=

■■=■，

過B（1，0）且與l垂直的直線m ： y=

-■（x-1），圓A的圓心（-1，0）到m的距離為■，所以PQ=2■=4■，

故S=■MNPQ=12■，

當l與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍為（12，8■）;

當l與x軸垂直時，其方程為x=1，MN=3，PQ=8，四邊形MPNQ面積為12.

綜上所述，四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12，8■）.

表征水平1較好地吻合相關的簡單高考試題，公式通達表現為根與系數的關系直接根據題設條件，由直線方程與圓錐曲線方程聯立構造出一元二次方程獲得，公式運用表現為將距離、中點、垂直和向量等幾何語言直接轉換為代數語言.

水平2：公式簡單通達，公式復雜運用

例2（2018北京理19第2問）：已知拋物線C ： y2=4x經過點P（1，2）.過點Q（0，1）的直線l不過點（1，-2），且與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.設O為原點，■=λ■，■=μ■，求證：■+■為定值.

簡單通達：設A（x1， y1 ），B（x2， y2 ）.

由y2=4xy=kx+1，得k2x2+（2k-4）x+1=0，知x1+x2=-■，x1x2=■.

復雜運用：直線PA的方程為y-2=■（x-1）.

令x=0，得點M的縱坐標為yM=■+2=■+2.

同理得點N的縱坐標為yN =■+2.

由■=λ■，■=μ■得λ=1-yM，μ=1-yN .

所以，

■+■=■+■=■+■=■·■=■·■=2.

故■+■為定值.

公式復雜運用是將公式置于更為復雜的知識和運算技巧中，運用過程至少存在兩個顯著的計算步驟.

水平3：公式復雜通達，公式簡單運用

例3（2018浙江21第1問）：如圖2，已知點P是y軸左側（不含y軸）一點，拋物線C ： y2=4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上.設AB中點為M，證明：PM垂直于y軸.

復雜通達：設P（x0， y0），A（■y21， y1），B（■y22， y2），

因為PA，PB的中點在拋物線上，所以y1，y2滿足方程

（■）2=4·■……①.

將①整理得y2-2y0y+8x0-y20=0，有y1+y2=2y0，

簡單運用：由中點為■=y0，可知PM垂直于y軸.

公式復雜通達與簡單通達的本質區別在于，前者需要較多知識、技巧和方法參與，后者則是機械操作.

水平4：公式復雜通達，公式復雜運用

例4（2010陜西理20第2問）：橢圓C ： ■+■=1，設n是過原點O的直線，l是與n垂直相交于P點、與橢圓相交于A，B兩點的直線，■=1，是否存在上述直線l使■·■=1成立？若存在，求出直線l的方程;若不存在，請說明理由.

復雜通達：設A（x1， y1 ），B（x2， y2），P（x0， y0），

因直線l為單位圓的切線，故設l的方程為x0 x+y0 y=1，且x20+y20=1，

由x0 x+y0 y=1■+■=1得（3y20+4x20）x2-8x0 x+4-12y20=0，代入y20=1-x20，

得（3+x20）x2-8x0 x+12x20-8=0，

所以x1+x2 =■，x1x2 =■，

復雜運用：當y0≠0，y1y2 =■·■=■[1-x0（x1+x2）+x20x1x2]=■.

所以x1x2+y1y2 =■<0 ……？譹？訛，

另一方面，假設■·■=1，則有■·■=■■=1，由射影定理有AO⊥BO，所以■·■= 0，故x1x2+y1y2 =0 ，與①矛盾.

故這樣的直線不存在.

當y0 = 0時，亦有同樣的結論（略）.

四、討論與啟示

如上所知，表征是知識在人腦中的貯存方式. 根據上述四個例子的分析，在數學問題解決中公式通達和公式運用這兩個步驟確實存在四個水平，因此，公式應該有四種表征形式，其在解題者的認知結構中應按這四個水平貯存. 水平1表現為機械的算法，屬于公式表征的底層認知結構，其表征（貯存）特點是保證算法流暢. 其余三個水平中的復雜通達和復雜運用往往具有一題一法特征，且由題設條件間接獲得，亦不再是基本幾何概念和代數符號之間的直接轉化. 因而，類比推理的公式通達和運用這兩個步驟需要在挖掘隱含條件的同時融入認知策略.

綜上所述，我們可以得到如下啟示：

（1）豐富學生公式表征的不同水平，避免在水平1上重復、持續訓練，同時避免不顧學生基礎和理解能力，突然躍至高層級的表征水平.

（2）幫助學生由簡單到復雜地適應公式的不同應用場景，并將這些場景與公式不同表征水平相關聯知識進行分類，如水平1中，根與系數關系的簡單通達與直線與圓錐曲線交點直接聯系，而根與系數的簡單運用則是與距離、中點等基本知識點直接聯系.

需要指出的是，本文將公式通達和運用描述為簡單、復雜兩個水平比較“粗糙”，可加入更多的“變量”來劃分公式表征水平，如不同知識板塊或運算技巧等.

另外，本文所選試題可能存在更為簡單或不用韋達定理的解答思路，如例4：

因為， OA2≥3，BO2≥3，

所以，■·■=■·■=

≥■·■=2>1

故，這樣的直線不存在.

這涉及解題策略的探討，本文不作闡述，需要另行研究.

責任編輯羅 峰