初中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的理論構(gòu)建與實(shí)踐`

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，體現(xiàn)與揭示了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的指導(dǎo)思想和普適方法。數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)是把數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)和能力培養(yǎng)有機(jī)結(jié)合，提高個(gè)人思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑。

一、初中數(shù)學(xué)教學(xué)存在的主要問題

數(shù)學(xué)教學(xué)是“應(yīng)試教育”的“重災(zāi)區(qū)”。素質(zhì)教育要求數(shù)學(xué)教育過程應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)，一是數(shù)學(xué)的概念、定理、數(shù)學(xué)思想方法等方面的知識，二是具有用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、心態(tài)和方法去處理現(xiàn)實(shí)世界中問題的意識。但“應(yīng)試教育”的功利思想，使題海戰(zhàn)術(shù)大行其道，造成學(xué)生的高度負(fù)擔(dān)和畏懼心理。

數(shù)學(xué)教師的專業(yè)素養(yǎng)有待提高。教師在數(shù)學(xué)概念、原理教學(xué)中，存在重知識講解和識記、輕知識形成過程中的能力培養(yǎng)的現(xiàn)象，這不但使習(xí)得的數(shù)學(xué)知識孤立、零散，而且不利于良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和方法的形成。

學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)普遍偏低，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏正確的認(rèn)識。初中生多數(shù)勤奮好學(xué)，但注重結(jié)果的多，提煉方法的少;注重怎么做的多，反思為什么的少;害怕、甚至厭倦數(shù)學(xué)的多，喜歡、乃至崇尚數(shù)學(xué)的少。

二、成因分析

形成上述問題的主要原因，是教師對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識站位低，只關(guān)注具體的知識、具體的題目，未能洞察其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法;未思考初中數(shù)學(xué)中主要的數(shù)學(xué)思想方法有哪些，數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵是什么，在教材中如何呈現(xiàn)，如何恰當(dāng)把握數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的度等問題。

要想改變這一現(xiàn)狀，需從數(shù)學(xué)的核心問題入手，即加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)研究。故而從理論構(gòu)建和實(shí)踐操作層面上確定以下研究目標(biāo)：①厘清初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵及層次;②梳理初中數(shù)學(xué)教材（北師大版），明確每一節(jié)教學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法;③構(gòu)建初中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)目標(biāo)管理系統(tǒng);④形成數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的實(shí)施策略。

三、主要措施

（一）界定初中數(shù)學(xué)的九種主要思想方法及其層次結(jié)構(gòu)

從初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)視角，基于適切性、有利性、高頻數(shù)原則，確定了初中9種主要數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)學(xué)模型、轉(zhuǎn)換與化歸、特殊與一般、數(shù)形結(jié)合、方程與函數(shù)、分類討論、類比、字母表示數(shù)、或然與必然。對上述九種主要數(shù)學(xué)思想方法做簡要的核心概念界定及內(nèi)涵描述，逐一勾勒出與該數(shù)學(xué)思想方法有關(guān)的思想或方法的上下位層次結(jié)構(gòu)。[1]下面以數(shù)學(xué)模型思想方法為例進(jìn)行說明。

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果，是對現(xiàn)實(shí)原型的概括反映或模擬，是一種符號模型。數(shù)學(xué)模型思想方法就是指通過數(shù)學(xué)模型來解決問題的一種思想方法。數(shù)學(xué)模型思想方法的上位思想是數(shù)學(xué)抽象思想、符號與變元思想、公理化和結(jié)構(gòu)化思想，方程與函數(shù)是其下位思想方法。

采用“數(shù)學(xué)模型思想方法”而不采用“數(shù)學(xué)建模思想方法”的表述，是因?yàn)榍罢邽閺V義的表述，后者為狹義的表述，廣義的表述是很多教師未曾意識到的，如此表述，內(nèi)涵更豐富、價(jià)值更凸顯。廣義的數(shù)學(xué)模型思想方法可分為三類：概念原理類、數(shù)學(xué)建模（實(shí)際問題）類、已解決問題類。

概念原理類模型是指數(shù)學(xué)中的每一個(gè)概念、原理等都是直接或間接地以各自相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)原型為背景抽象出來的。它包括數(shù)學(xué)的概念、公式、定理、法則、性質(zhì)等，既蘊(yùn)含了純數(shù)學(xué)的關(guān)系結(jié)構(gòu)，又能進(jìn)行數(shù)學(xué)推演。

數(shù)學(xué)建模類模型是指用數(shù)學(xué)的方法解決實(shí)際問題，即從實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)原理進(jìn)行推演，解決數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而使實(shí)際問題得以解決。初中的數(shù)學(xué)建模主要包括方程（組）模型、不等式（組）模型、函數(shù)模型、概率模型。

已解決問題類模型是指某些典型問題已被解決，而該問題的解決有利于其他相關(guān)問題的解決，即該問題的結(jié)論可用于其他問題的解決，或該問題的解決思路可遷移到其他問題的解決。此時(shí)，該問題所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)即為一個(gè)數(shù)學(xué)模型，待解決問題可通過轉(zhuǎn)化為該問題，進(jìn)而得到解決。[2]

（二）構(gòu)建數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)目標(biāo)管理系統(tǒng)

只有構(gòu)建數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的目標(biāo)層次要求，明確提出蘊(yùn)含了哪些數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生掌握到什么層次，才能更好地落實(shí)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，落實(shí)課標(biāo)精神，從根本上提高數(shù)學(xué)教育教學(xué)質(zhì)量。

沈文選認(rèn)為，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，應(yīng)該建立一個(gè)目標(biāo)明確的、可以控制的、符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)管理系統(tǒng)，我們稱之為“數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)目標(biāo)管理系統(tǒng)”。它是遵循明確揭示目標(biāo)、逐步滲透、循環(huán)往復(fù)、系統(tǒng)體現(xiàn)、螺旋上升的規(guī)律，按照如下程序和方法來建立的。[3]

1. 構(gòu)建數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)目標(biāo)層次框架

基于課程標(biāo)準(zhǔn)、教材、初中生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，以數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)目標(biāo)為主線，將數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的目標(biāo)分為“滲透→顯化→運(yùn)用”這三個(gè)由低到高的水平層次，并將它與學(xué)生學(xué)習(xí)的主體目標(biāo)“感受和覺察→領(lǐng)悟和形成→掌握、運(yùn)用和內(nèi)化”以及教學(xué)內(nèi)容的認(rèn)知領(lǐng)域的教學(xué)目標(biāo)“了解→理解→掌握和靈活運(yùn)用”相對應(yīng)，并對教學(xué)目標(biāo)層次的關(guān)鍵詞“滲透、顯化、運(yùn)用”和主體目標(biāo)的關(guān)鍵詞“感受、覺察、領(lǐng)悟”等逐一作了作界定性表述，進(jìn)而形成了數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的目標(biāo)層次框架，[4]具體見右表。

2. 建立數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)目標(biāo)管理系統(tǒng)

首先，依托教材，以章、節(jié)、課時(shí)為單位，逐一充分挖掘并表述初中數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)目標(biāo)層次。然后，分別將九種主要數(shù)學(xué)思想方法與能實(shí)現(xiàn)其教學(xué)目標(biāo)的具體數(shù)學(xué)知識，按教學(xué)先后及目標(biāo)層次為序，整理成一個(gè)系統(tǒng)，并添加教學(xué)目標(biāo)控制線，建立“數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)目標(biāo)管理系統(tǒng)”。同時(shí)，分析各思想方法在滲透（感受、覺察）、顯化（領(lǐng)悟、形成）、運(yùn)用（掌握、運(yùn)用、內(nèi)化）三個(gè)層次發(fā)展的脈絡(luò)，并給出數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)目標(biāo)分析示例，具體見右圖。

（三）提出“術(shù)法道”三重教學(xué)主張

學(xué)生學(xué)習(xí)具體的數(shù)學(xué)知識屬于下位學(xué)習(xí)，而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法則屬于上位學(xué)習(xí)，當(dāng)學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)思想方法之后，就有助于學(xué)生更好地理解相關(guān)的具體知識點(diǎn)，從根本上解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)問題的解決，可分為“術(shù)、法、道”三個(gè)層次。

“術(shù)”是指解決某一具體問題的方法，如該問題的技巧性解決，該解法不具備可推廣性;或者用了通法解決，卻未能及時(shí)提煉。在教學(xué)中常體現(xiàn)為“就題解題”“一題多解”。“法”是指一類問題的解法，它具有程序化、易操作的特點(diǎn)，是一類問題解決的通法。在教學(xué)中常體現(xiàn)為“歸納總結(jié)”“多題一解”，如待定系數(shù)法?！暗馈笔侵笌最悊栴}的策略性解決，通過深入探究問題的結(jié)構(gòu)特征，對問題解決做方向性、策略性思考，它具有高度的概括性和預(yù)測性特點(diǎn)。在教學(xué)中常體現(xiàn)為“數(shù)學(xué)思想方法”“多解歸一”，如數(shù)學(xué)建模、轉(zhuǎn)換與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法。

由此，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，有助于學(xué)生從“道”的層面認(rèn)識和解決數(shù)學(xué)問題。[5]

（四）形成數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的實(shí)施策略

1. 在知識形成過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法

概念教學(xué)中不簡單地下定義。概念是數(shù)學(xué)知識的起點(diǎn)，不僅要重視概念的內(nèi)涵，更要重視概念的形成過程，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生感受或領(lǐng)悟隱含其中的數(shù)學(xué)思想方法。

原理教學(xué)中不過早給結(jié)論。教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生參與結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)的過程，弄清每個(gè)結(jié)論的因果關(guān)系，讓學(xué)生體會探究和發(fā)現(xiàn)活動中所經(jīng)歷和運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法。

2. 在問題的解決中激活和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法

要提高學(xué)生的解題能力，應(yīng)充分展現(xiàn)學(xué)生的思維過程，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法對發(fā)現(xiàn)解題路徑的定向、聯(lián)想和判斷功能。在數(shù)學(xué)問題的解決后反思和提煉數(shù)學(xué)思想方法，不僅可以加快和優(yōu)化問題解決的過程，還可以達(dá)到“會一題、明一路、通一類”的效果。

3. 在小結(jié)反思中概括數(shù)學(xué)思想方法

概括數(shù)學(xué)思想方法一般可分兩步進(jìn)行：揭示數(shù)學(xué)思想方法的名稱和內(nèi)涵;明確數(shù)學(xué)思想方法與具體知識的聯(lián)系，使用方式和范圍，并適時(shí)推廣聯(lián)系。

參考文獻(xiàn)：

[1]董磊. 初中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的理論思考之一——初中數(shù)學(xué)主要思想方法的內(nèi)涵及層次結(jié)構(gòu)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2018（9）：67-70.

[2]王秀秀，董磊，陳棉駒. 初中數(shù)學(xué)模型思想方法的內(nèi)涵及教學(xué)分析[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2019（4）：62-65.

[3]沈文選. 中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法[M]. 長沙：湖南師范大學(xué)出版社，1999.

[4]董磊. 初中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的理論思考之三——嘗試構(gòu)建數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的目標(biāo)層次框架[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2018（11）：63-65.

[5]董磊. 初中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的理論思考之二——數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值和意義[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2018（10）：46-48.

注：本文系廣東省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的實(shí)踐研究”（課題批準(zhǔn)號：2011TJK014）的研究成果。