解(1,1)塊對稱不定線性系統的廣義修正SSOR迭代法

程 軍，李正彪，鄭彭丹，張莉君

(1.曲靖師范學院教師教育學院，云南 曲靖 655011；2.曲靖師范學院數學與統計學院，云南 曲靖 655011；3.中南林業科技大學涉外學院信息與工程學院，湖南 長沙 410211；4.曲靖市特殊教育學校，云南 曲靖 655000)

在許多應用中，需要求解一個具有對稱塊矩陣的線性方程組

(1)

其中A∈Rn×n對稱不定矩陣，B∈Rm×n(n≥m)滿秩矩陣，即秩(B)=m，向量x，f∈Rn，y，g∈Rm，該線性系統稱之為鞍點問題。

鞍點問題出現在很多科學計算領域和工程應用領域，其中A∈Rn×n在鞍點問題(1)中對稱正定矩陣，這里有許多不同的迭代方法來解決這個問題[1-6]。

其中A∈Rn×n在線性系統問題(1)中是對稱不定矩陣，關于這種情形的研究論文文獻還很少。本文提出了一種求解對于A∈Rn×n是稱不定矩陣線性系統問題的廣義MSSOR(GMSSOR)迭代方法。并分析了相應方法的收斂性。數值實驗表明，在選取適當參數的條件下，GMSSOR方法比MSSOR方法具有更快的收斂速度。本論文的整體安排如下：在第2節中，我們提出了新的迭代方法，并在第3節中討論了保證其收斂性的條件，第4節給出了數值算例，證明了該方法的可行性和有效性。

1 廣義MSSOR迭代法

在本節中，針對線性系統(1)中A∈Rn×n是對稱不定矩陣的情況，我們提出一個矩陣迭代方法，線性系統(1)可以寫成如下形式：

(2)

這里A∈Rn×n是對稱不定矩陣，可以對A進行強迫正定分解[7]，即

A=LDLT-E

(3)

其中LDLT對稱不定矩陣，D正定對稱矩陣，L是單位下三角矩陣，以及E對角矩陣。

首先，我們使用矩陣分解(3)來構造如下矩陣分解形式:

(4)

其中Q非奇異且對稱的。

設

通過矩陣分解形式(4)，我們提出了解決問題(2)的迭代方法:

(5)

或等價于

(6)

這種迭代方法可以寫成以下算法。

算法

(1) 利用吉爾-默里強迫正定方法[7]，產生這樣一個矩陣分解方法A=LDLT-E;

(2) 選擇矩陣M∈Rm×n和Q，構造抉擇分解形式(4);

(7)

該迭代方法的迭代矩陣為

(8)

2 迭代方法的收斂性分析

在這一節中，我們討論了該迭代法的收斂結果。

讓ρ(G)表示迭代矩陣G的譜半徑，那么當且僅當ρ(G)<1時，這個方法是收斂的。其中λ是一個G的一個特征值，(uT，vT)T是其特征值對應的特征向量，即

(9)

同時也等價于

(10)

也就是

(11)

為了證明該迭代方法的收斂性，我們首先給出一個引理

引理[1]實系數方程x2+bx+c=0的兩個根的模均小于1的充分必要條件是|c|<1且|b|<1+c。

證明略，詳見文獻[8]

現在我們給出以下定理。

(12)

證明從(11)的第二個方程，我們得到

(λ-1)v=Q-1Mu-λQ-1Mu+λQ-1Bu

(13)

(14)

從引理可知，|λ<1|當且僅當

(15)

證明完成

3 數值算例

例設A=(ajj)，B=(bjj)，其中

表1 譜半徑和收斂所需的時間

4 結論

在表1中，我們列出了迭代矩陣G的譜半徑ρ(G)，以及在迭代法(7)中對于不同數值n迭代收斂所需的時間，表1表明迭代方法(7)是收斂的，且新方法是有效的。