偏序集上的素強濾子

李效民，姜廣浩

(1.佛山職業技術學院財經管理學院，廣東 佛山 528000；2.淮北師范大學數學科學學院，安徽 淮北 235000)

1 引言與預備知識

為了回答文獻[1]中的一個問題，2006年姜廣浩等在文獻[2]中引入了偏序集上的局部極大理想的概念。2007年，姜廣浩等推廣了上述概念，并提出了濾子極大理想的概念[3]。此外，潘美林等在文獻[4]中給出了弱理想的定義，得到了若干好的結果，進而豐富了特殊元理論。

2017年，唐照勇等在文獻[5]中引入了強理想的概念，并研究了其在有限偏序集上的應用。文獻[6]引入了強集的概念，并將文獻[5]中元素間連通關系的定義推廣到一般偏序集上。在此基礎上，本文在偏序集上引入素強濾子的概念，并研究其相關性質。此外，考察素強濾子、素濾子、強濾子三者之間的關系。最后得到：強濾子在序同構映射下的像是強濾子；素強濾子在序同構映射下的像是素強濾子。

定義1[1]設E是集合，≤是E上的二元關系，若≤滿足以下性質:

(1) ?a∈E，a≤a;

(2) ?a，b∈E，a≤b，b≤a?a=b；

(3) ?a，b，c∈E，a≤b，b≤c?a≤c，則稱≤為偏序關系，稱(E，≤)為偏序集，簡記E。

定義2[1，7，8]設F是偏序集(E,≤)的非空子集，稱F是E的上(下)集，若對?x∈E,a∈F,a≤x(x≤a)蘊含x∈F,即F=↑F(F=↓F)。定義3[9]A稱非空子集I是偏序集(E，≤)的濾子，若I滿足以下條件:

(1) ?a,b∈I，?c∈I使得c≤a，c≤b；

(2) ?a∈I，b∈E，a≤b蘊含b∈I。

定義4[5]若I是偏序集(E，≤)的定向真強集，則I是E的強理想。對偶的，若I是偏序集(E，≤)的余定向真強集，則I是E的強濾子。

定義5[6]設I為偏序集(E，≤)的非空子集。稱I為E的強集，若I既是上集又是下集，即I=↑I=↓I；稱I為E的真強集，若非空真子集I是強集。

定義6[1]設I為偏序集(E，≤)的濾子。若EI=?或EI為E上的理想，則稱I為素濾子。

定義7[1，10]設E與F為偏序集，f:E→F是映射，若?a，b∈P，a≤b?f(a)≤f(b)，則稱f是單調映射，單調映射也稱為保序映射或序同態映射。

定義8[1，10]設E與F為偏序集，f:E→F是保序雙射，若f的逆映射f-1也是保序映射，則稱f是保序同構映射或序同構映射。

2 主要結論

定義9設F為偏序集(E，≤)的非空子集，F為E的強濾子。稱F為素強濾子?EF為E的強理想或EF=?。

注1素強濾子是強濾子，但強濾子未必是素強濾子。

例1圖1是偏序集(E，≤)的Hasse圖，E={a,b,c,d,e,f,g，h，i，j}。令F={a，b，c，d，e，f}，則F強濾子，但F不為素強濾子。事實上，EF={g，h，i，j}不為定向集，所以EF不為理想，進而EF不為強理想。

注2素強濾子是素濾子，反之未必成立。

例2圖2是偏序集(E，≤)的Hasse圖，E={a，b，c，d，e，f，g，i}。令F={a，b}，則F為素濾子，但EF={c，d，e，f，g，i}不為強理想，故F不為素強濾子。

注3素濾子未必是強濾子，強濾子也未必是素濾子。

例3在例2中，令I={a，b}，則I為素濾子。由于I不為強集，故I不是強濾子。

例4在例1中，F為強濾子，但EF不為理想，故F不是素濾子。

綜上可得強理想、素理想及素強理想之間的關系如圖3：

引理1[6]設F是偏序集(E，≤)的非空子集。則F是E的連通分支當且僅當F既是強集又是連通子集。

定理1設E為連通偏序集。若F為E的強濾子，則F為E的素強濾子。

證明設F是E的強濾子，則F是E的余定向真強集。由偏序集的任一余定向子集都是連通子集，知F是E的連通子集。所以F既是強集又是連通子集。再由引理1知F是E的連通分支。此外，由于E是連通偏序集，故E也是連通分支，即E中只有一個連通分支。所以E=F，則EF=?，從而F為E的素強濾子。

因為余定向偏序集是連通偏序集，同時也是強濾子。所以易得以下推論。

推論1設E為余定向偏序集，則E本身為素強濾子。

定理2設E和F是偏序集，f:E→F是序同構映射。若非空子集G是E的強濾子，則f(G)是F的強濾子。

證明設序同構映射f:E→F，G?E為強濾子。?a*，b*∈f(G)，存在a，b∈G使得a*=f(a)，b*=f(b)。由G為余定向集，故?c∈G，使得c≤a，c≤b，由f保序，得到f(c)≤f(a)，f(c)≤f(b)。故f(G)是余定向的。下證任意f(G)既為上集又為下集。首先證f(G)為上集，一方面f(G)?↑f(G)，另一方面?y∈↑f(G)，?g∈G，f(g)∈f(G)使得f(g)≤y。因為f-1保序，所以f-1(y)∈E且g≤f-1(y)。又G為強濾子，故G必為上集，從而f-1(y)∈G，進而有f(f-1(y))∈f(G)，即y∈f(G)，故↑f(G)?f(G)，所以↑f(G)=f(G)，即f(G)為上集。同理可證f(G)為下集，綜合可得，f(G)是F的強濾子。

注4由定理2可知，在序同構映射下，強濾子的像仍是強濾子。

定理3設E為偏序集，f:E→E為投射，X?f(E)為強濾子。若infEX，inff(E)X存在且infEX∈E，則inff(E)X=f(infEX)。

證明假設X?f(E)的上確界存在且屬于E，則?x∈X，由infEx≤x和f的單調性，可得f(infEX)≤f(x)。又由f的冪等性可得f(infEX)≤x，故f(infEX)為X在f(E)中的一個下界。假設a∈f(E)，且a是X的另一個下界，則有a≤infEX，由f的冪等性和單調性，有a=f(a)≤f(infEX)，故f(infEX)是X在f(E)中的下確界。

定理4設E，F為偏序集，f:E→F為序同構映射，若D為E的素強濾子，則f(D)為F的素強濾子。

證明若ED=?，依據定義9知，D=E是強濾子。由定理2，f(D)=F為強濾子，Ff(D)=?，即f(D)是素強濾子。

若ED≠?。由定理2可知f(D)為強濾子，下證Ff(D)為強理想。

?y1，y2∈Ff(D)，?x1，x2∈ED，使得y1=f(x1)，y2=f(x2)。由ED為強理想，故ED定向，進而?z∈ED，使得x1≤z且x2≤z，又f是序同態的，故f(x1)≤f(z)，f(x2)≤f(z)，即y1≤f(z)，y2≤f(z)。又由f(z)∈Ff(D)，故Ff(D)是定向的。

設x∈Ff(D)，y∈F且y≤x。由f序同構，知f-1(y)≤f-1(x)。因為ED為強理想，所以ED為下集，由f-1(x)∈ED，f-1(y)∈f-1(F)?E，可得f-1(y)∈ED。故f(f-1(y))∈Ff(D)，即y∈Ff(D)。所以Ff(D)為下集。類似可證明Ff(D)為上集。故Ff(D)為強集。

綜上可知，f(D)是素強濾子。