隨機Dirichlet級數的廣義Hadamard乘積的增長性

崔永琴，徐洪焱

(1.景德鎮陶瓷大學信息工程學院，江西 景德鎮 333403；2.上饒師范學院數學與計算機科學學院，江西 上饒 334001)

1 引言與主要結果

考慮Dirichlet級數

(1.1)

其中{an}?C，0<λn↑+∞，σ和t是實變量。當級數(1.1)滿足

(1.2)

則根據文[1，2]中Valion公式可得，級數(1.1)的收斂橫坐標是-∞，那么f(s)在全平面上解析，即為整函數。記D為級數(1.1)滿足條件(1.2)的整函數f(s)的全體集合。

定義1.1[2]若f(s)∈D，f(s)的q-級與下q-級的定義為

注log[0]x=x，log[q]x=log(log[q-1]x)，q∈+。

定義1.2[2]如果ρ=χ，那么稱Dirichlet級數(1.1)具有ρ[q]-正規增長;如果τ=T，則稱級數(1.1)具有完全ρ[q]-正規增長。

Dirichlet級數表示的整函數的增長性一直是復分析領域研究經典且有趣的問題，過去的幾十年里，國內外許多學者，如:Hardy，Filevych，余家榮、孫道椿、高宗升等對Dirichlet級數的增長性做了大量重要且有意義的工作，得到了許多具有經典與綱領性結果(見[1-6])。這里僅列出全平面收斂的Dirichlet級數的涉及(下)q-級和(下)q-型的幾個經典結果(見[7-9])。

定理A設f(s)∈D，則

(1.3)

(1.4)

其中q=2，3，…。

定理B設f(s)∈D，則

(1.5)

其中q=2，3，…，上式中等號成立當且僅當

(1.6)

為關于n的非減函數。

定理C設f(s)∈D，則

(1.7)

其中q=2，3，…，上式中等號成立當且僅當(1.6)為關于n的非減函數，且log[q-2]λn-1～log[q-2]λn，(n→∞)。

2009年與2014年，孔蔭瑩等通過引入Dirichlet-Hadamard乘積定義，在兩種不同的系數條件下，討論了Dirichlet-Hadamard乘積級數的增長性，得到了其(下)q-級與(下)q-型的上界和下界的估計定理(見[10-11])。2018年，李云霞與孔蔭瑩文[12]定義了隨機Dirichlet-Hadamard乘積級數，同時討論了該乘積級數的增長性，得到了乘積級數與原級數之間增長性的聯系，拓展了Dirichlet-Hadamard乘積的研究。2019年，應銳與徐洪焱文[13]中在不同的系數限制下進一步討論了隨機Dirichlet-Hadamard乘積的增長性。

本文通過引入隨機Dirichlet級數的廣義Dirichlet-Hadamard乘積，進一步討論乘積級數的增長性，并得到乘積級數與原級數之間的(下)q-級和(下)q-型的關系定理。為敘述本文結果，先給出如下隨機Dirichlet級數的廣義Hadamard乘積定義。

(1.8)

cn(ω)=[an1Xn(ω)]μ[an2Xn(ω)]υ，λn=αλn1+βλn2

(1.9)

其中anj，λnj(j=1，2)滿足條件(1.2);{Xn(ω)}是概率空間(Ω，Α，P)中的獨立復隨機變量列，μ和υ是正實數。

引理1.1[2](ⅰ) 若{Xn(ω)}滿足:?c>0，

(1.10)

那么對ω∈Ω，?N1(ω)，當n>N1(ω)時，

(1.11)

(ⅱ) 若{Xn(ω)}滿足:?d>0，

(1.12)

那么對ω∈Ω，?N2(ω)，當n>N2(ω)時，

(1.13)

(ⅲ) 若{Xn(ω)}滿足(1.10)和(1.12)，那么對ω∈Ω，?N(ω)，當n>N(ω)時，

n-k0≤|Xn(ω)|≤nk0

(1.14)

若隨機Dirichlet-Hadamard乘積(1.8)滿足(1.2)式，且{Xn(ω)}滿足(1.10)式，由定義(1.3)及引理1.1中(1.11)式得

于是

因此σc(ω)=σc=-∞，即隨機Dirichlet-Hadamard乘積(1.8)于全平面收斂。

在系數條件

λn1～λn2，(n→+∞)

(1.15)

限制下，隨機Dirichlet級數的廣義Hadamard乘積級數的增長性，我們有

(1.16)

(1.17)

(ⅰ) 若f1(s，ω)，f2(s，ω)是ρ[q]-正規增長的整函數，那么G(s，ω)也是ρ[q]-正規增長，且它的q-級滿足

(1.18)

(ⅱ) 若ρ1，ρ2∈(0，+∞)，則G(s，ω)的q-型滿足

log[q-2]λn1～log[q-2]λn-11(n→∞)，log[q-2]λn2～log[q-2]λn-12(n→∞)

(1.19)

以及(2.1)是兩個關于n的非減函數且滿足(2.2)，f1(s，ω)，f2(s，ω)是完全ρ[q]-正規增長的整函數，那么G(s，ω)也是完全ρ[q]-正規增長，且它的q-型和下q-型分別滿足

(1.20)

(1.21)

在系數條件

γn=ηξn

(1.22)

限制下，隨機Dirichlet級數的廣義Hadamard乘積級數的增長性，我們得到

(1.23)

(1.24)

(ⅰ) 若f1(s，ω)，f2(s，ω)是ρ[q]-正規增長的整函數，那么G(s，ω)也是ρ[q]-正規增長，且它的q-級滿足

(1.25)

(ⅱ) 若ρ1，ρ2∈(0，+∞)，則G(s，ω)的q-型滿足

(1.26)

2 定理1.1～1.4的證明

為證明定理1.1～1.4，先給出Dirichlet級數的廣義Hadamard乘積的定義(見[14])。

cn=an1μan2υ，λn=αλn1+βλn2

其中μ和υ是正實數;{an1}，{an2}?，0<λn1，λn2↑∞。

引理2.1[14]假設

(2.1)

為2個關于n的非減函數且滿足

λn+12-λn2|=kλn+11-λn1|，(k>0)

(2.2)

(ⅰ) 廣義Dirichlet-Hadamard乘積F(s)的q-級和下q-級滿足

(2.3)

(ⅱ) 若f1(s)，f2(s)是ρ[q]-正規增長的整函數，那么F(s)也是ρ[q]-正規增長，且它的q-級滿足

(2.4)

(ⅲ) 若ρ1，ρ2∈(0，+∞)，則F(s)的q-型滿足

(2.5)

(ⅳ) 若f1(s)，f2(s)是完全ρ[q]-正規增長的整函數，且滿足(1.19)，那么F(s)也是完全ρ[q]-正規增長，且它的下q-型滿足

(2.6)

(2.7)

定理1.1的證明先證ρ1(ω)=ρ1，ρ2(ω)=ρ2。由引理1.1中(1.14)知

|anj|n-k0≤|anjXn(ω)|≤anj|nk0，j=1，2

從而

于是

因此，ρj(ω)=ρj，j=1，2.

由定理A知?ε>0，?N1，N2>0，當n>N=max{N1，N2}時，有

根據cn(ω)的定義可得

從而

(2.8)

又由λn1～λn2(n→∞)，則

log[q-1]λn1～log[q-1]λn2～log[q-1]λn(n→∞)，q=2，3，…

結合ε的任意性，可得

這樣，定理1.1證畢。

定理1.2的證明類似定理1.1的證明易得χ1(ω)=χ1，χ2(ω)=χ2。又根據定理B，?ε>0，?N1，N2>0，當n>N=max{N1，N2}時，有

根據cn(ω)的定義有

從而

(2.9)

由λn1～λn2(n→∞)，則

log[q-1]λn-11～log[q-1]λn-12～log[q-1]λn-1(n→∞)，q=2，3，…

結合ε的任意性得

因此，定理1.2得證.

定理1.3的證明(ⅰ) 結合定理1.1與1.2可得

根據f1(s，ω)，f2(s，ω)是ρ[q]-正規增長的整函數，則ρ1=χ1，ρ2=χ2。因此ρ(ω)=χ(ω)，即G(s，ω)是ρ[q]-正規增長，且滿足

(ⅱ) 先證Tj(ω)=Tj，j=1，2。由引理1.1知

由引理2.2中(2.5)知

根據cn(ω)的定義和引理1.1中(1.14)知

定理1.4的證明(1) 結合引理2.2中(2.6)與引理1.1，類似于定理1.3易證之。

(2) 類似于定理1.3的證明τj(ω)=τj，j=1，2。由引理2.2中(2.7)知

根據cn(ω)的定義和引理1.1中(1.14)知

3 定理1.5～1.8的證明

為證明定理1.5～1.8，需以下引理.。

γn=ηξn

以及(2.1)是兩個關于n的非減函數且滿足(2.2)，則

(ⅰ) 廣義Dirichlet-Hadamard乘積F(s)的q-級和下q-級滿足

(3.1)

(ⅱ) 若f1(s)，f2(s)是ρ[q]-正規增長的整函數，那么F(s)也是ρ[q]-正規增長，且它的q-級滿足

(3.2)

(ⅲ) 若ρ1，ρ2∈(0，+∞)，則F(s)的q-型滿足

(3.3)

(ⅳ) 若f1(s)，f2(s)是完全ρ[q]-正規增長的整函數，且滿足(1.19)，那么F(s)也是完全ρ[q]-正規增長，且它的下q-型滿足

(3.4)

(3.5)

定理1.5的證明由定理1.1知ρ1(ω)=ρ1，ρ2(ω)=ρ2，且?ε>0，?N1，N2>0，當n>N=max{N1，N2}時，(2.8)式成立。

由λn1=ηλn2，則λn=(αη+β)λn2與

log[q-1]λn1～log[q-1]λn2～log[q-1]λn(n→∞)，q=2，3，…

結合ε的任意性，可得

這樣，定理1.5即證.

定理1.6的證明由定理1.2可得χ1(ω)=χ1，χ2(ω)=χ2，且?ε>0，?N1，N2>0，當n>N=max{N1，N2}時，(2.9)式成立。

由λn1=ηλn2，則λn=(αη+β)λn2以及

log[q-1]λn-11～log[q-1]λn-12～log[q-1]λn-1(n→∞)，(n→∞)，q=2，3，…

結合ε的任意性易得

定理1.7的證明(ⅰ) 結合定理1.5和1.6可得

由于f1(s，ω)，f2(s，ω)是ρ[q]-正規增長的整函數則ρ1=χ1，ρ2=χ2。因此ρ(ω)=χ(ω)，即G(s，ω)是ρ[q]-正規增長，且

(ⅱ) 由(3.3)知

再結合定理1.3中Tj(ω)=Tj(j=1，2)，T(ω)=T易得定理1.7成立.

定理1.8的證明(1) 由引理3.1與引理1.1，類似于定理1.4易證。

(2) 由引理3.1知

類似于定理1.4可得τj(ω)=τj(j=1，2)，τ(ω)=τ，則G(s，ω)的下q-型滿足(1.18)。這樣，定理1.8證畢。