一般線性空間中近似Benson真有效解的若干刻畫

陳 楠，黃 斌，徐義紅

(南昌大學數學系，江西 南昌 330031)

在局部凸空間中關于向量優化問題的研究已取得豐碩的成果。李仲飛[1]研究了拓撲線性空間中帶集值映射的向量優化問題的Benson真有效性，獲得兩個標量化結果和兩個Lagrange乘子定理。Borwein等[2]在賦范線性空間研究了集值優化問題的超有效性。徐義紅等[3]在Hausdorff局部凸空間中，在近似錐-次類凸假設下，利用凸集分離定理，分別得到了Kuhn-Tucker型和Lagrange型最優性條件。近年來，在沒有拓撲結構的線性空間中研究集值優化問題吸引了學者們的關注。Zhou等[4-6]在實線性空間中討論了集值優化弱有效解、近似Benson真有效解和近似Henig有效解的最優性條件。Adan等[7]得到了集值優化問題Benson真有效解的Kuhn-Tucker條件、標量定理。Gutierrez等[8]在沒有任何拓撲結構情況下，借助改進集的序，研究了實線性空間帶約束的向量優化問題的Benson真有效解和Henig有效解。

近似解在向量優化問題中扮演重要的角色，在非緊情形下向量均衡問題的(弱)有效解可能是空的，而近似解在非常弱的假設下也可能存在。因此對近似解進行理論分析是很有意義的。Qiu等[9-10]在Hausdorff局部凸空間中討論了向量均衡問題的εe-弱有效解、εk-Henig有效解和超有效解與ε-最優解的關系。孟旭東等[11]給出了向量均衡問題的近似解的最優性條件。Qiu等[12]通過標量化的方法，討論向量優化問題近似解和弱有效解之間的關系。Chen等[13]討論了集值向量均衡問題的弱有效解和近似有效解之間的關系。

向量均衡問題是向量優化問題的推廣，本文擬在一般線性空間中引進集值均衡問題的近似Benson真有效解，并建立近似Benson真有效解的最優性條件。

1 預備知識

假設X，Y，Z為一般線性空間，集合A為Y中非空子集。若A≠Y，則稱A是非平凡的。若a∈A，λ≥0有λa∈A，則稱A為錐。若錐A滿足A∩(-A)={0}，則稱A是點錐。集合A的生成錐定義為cone(A)={λa|λ≥0，a∈A}。

定義1.1[5]設A是Y中的一個非空子集。稱A是均衡的，如果?a∈A，?λ∈[-1，1]，λa∈A。稱A是吸收的，如果?y∈Y，?λ′>0，?λ∈[0，λ′]，λy∈A。

定義1.2[5]設S?Y，S是錐。若B是凸集，S=cone(B)且存在均衡的，吸收的凸集V使得0?B+V，則稱B是S的基。

設B是S的基，記N(0)={V?Y:V是均衡的、吸收的凸集且0?B+V}。

A的代數內部定義為

cor(A):={a∈A|?y∈Y，?λ′>0，?λ∈[0，λ′]，a+λy∈A}

A的向量閉定義為

vcl(A):={k∈Y|?y∈Y，?λ′>0，?λ∈[0，λ′]，k+λy∈A}

若A=vcl(A)，則稱A是向量閉的。

注1.1若A是非平凡錐，則0?cor(A)。

記Y*和Z*分別為Y和Z的代數對偶，設S，K分別為Y，Z中的點凸錐，S的代數對偶錐S+定義為

S+={y*∈Y*|〈y*，y〉≥0，?y∈S}

S的嚴格正對偶S+i定義為

S+i={y*∈Y*|〈y*，y〉>0，?y∈S{0}}

定義1.3[14]集值映射F:X→2Y稱為在X上是廣義S-次類凸的，如果cone(F(X))+cor(S)是凸的。

設G:X→2Z,φ:X×X→2Y為集值映射，記可行集Ω={x∈X:G(x)∩(-K)≠?}。

其中P∪{0}是Y中的凸錐。

(Φ-SEPC)的向量Benson真有效解的全體記為XvBen(Φ，Ω)

下面引進關于均衡問題的近似向量Benson真有效解的概念。

命題1.1對任意ε∈S，有XvBen(Φ，Ω)?ε-XvBen(Φ，Ω)。

(1.1)

因為ε∈S且S是一個凸錐，所以ε+S?S+S?S。于是

因此

由(1.1)得

部分班組長擅自將其他驗收合格腳手架牌子拆卸，掛于未經驗收合格的腳手架，企圖蒙混過關。項目部制定制度，對于該行為予以嚴格處罰，同時，安排腳手架主管對所有腳手架掛牌情況建立臺賬，只有腳手架主管及腳手架檢查工程師擁有掛牌和移牌權利，掛牌不能使用鐵絲，必須使用腳手架主管的專用工具。最終徹底杜絕了該行為發生，避免企業形象受損。

注1.2由命題1.1得

命題1.2對任意ε1，ε2∈S，若ε2-ε1∈S，則

ε1-XvBen(Φ，Ω)?ε2-XvBen(Φ，Ω)

證明類似命題1.1的證明。

定義1.6[11]設B?Y，0?B，B是凸集，若對任意Q∈ζ(B)，存在V∈N(0)使得

Q∩(B+V)=?

其中ζ(B)={Q?Y:Q是凸集，cor(Q)≠?，Q=vcl(Q)，Q∩cone(B)={0}}。則稱B是向量緊的。

命題1.3設Y是有限維局部凸拓撲線性空間，若B是緊集，則B是向量緊的。

證明設Q∈ζ(B)，由于Y是有限維空間，cor(Q)≠?，因此int(Q)=cor(Q)[15]。由于Q是凸集且int(Q)≠?，由[16]得vcl(Q)=cl(Q)，由Q=vcl(Q)得Q=cl(Q)。因此Q是閉集。

?n∈+設則存在bn∈B，vn∈V0使由B是緊集得存在nk∈+使得nk→+時，bnk→b0。由得ynk→b0∈B。又由于ynk∈Q且Q是閉集，因此b0∈Q，于是b0∈B∩Q?Q∩cone(B)。由0?B得b0≠0，因此Q∩cone(B)≠{0}，矛盾。

引理1.1[4]設F:X→2Y是集值映射。cor(S)≠?，則下列陳述等價:

(ⅰ)F在X上是廣義S-次類凸的;

(ⅱ) vcl(cone(F(X)+S))是凸集。

引理1.2[6]假設cor(S)≠?，則下列陳述等價:

(ⅰ) cone(F(X)+cor(S))是凸的；

(ⅱ) ?u∈cor(S)使得?x1，x2∈X，?λ∈(0，1)，?ε>0

εu+λF(x1)+(1-λ)F(x2)?cone(F(X))+S

引理1.3[16]設A是Y中的非空子集，C是Y中的的非平凡的凸錐。如果cor(C)≠?，則

(ⅰ)A+cor(C)=cor(vcl(A+C));

(ⅱ) vcl(cone(A)+C)=vcl(cone(A+C));

(ⅲ) vcl(A+C)=vcl(A+cor(C))。

引理1.4[17]設A是Y中的非空子集，則A+=(vcl(A))+。

引理1.5[17]設C?Y是非平凡點凸錐，A是Y中非空子集。如果vcl(cone(A)+C)是凸的，則下列陳述只有一個成立:

(ⅰ)A∩(-cor(C))≠?;

(ⅱ)A+∩C+≠{0}。

引理1.6[18]設s*∈S*{0}，s∈cor(S)，則s*(s)>0。

命題1.4若F在X上是廣義S-次類凸的，P是點凸錐，S?P，則F在X上是廣義P-次類凸的。

證明由于F在X上是廣義S-次類凸的，因此cone(F(X))+cor(S)是凸的，由引理1.2，?u∈cor(S)使得?x1，x2∈X，?λ∈(0，1)，?ε>0有

εu+λF(x1)+(1-λ)F(x2)?cone(F(X))+S

由S?P得u∈cor(P)且?x1，x2∈X，?λ∈(0，1)，?ε>0有

εu+λF(x1)+(1-λ)F(x2)?cone(F(X))+P

再由引理1.2可知cone(F(X))+cor(P)是凸集，因而F在X上廣義P-次類凸的。

引理1.7[18]設S，K分別是Y，Z中的凸錐，則(S×K)+=S+×K+。

引理1.8[18]設Q1?Y，Q2?Z。若cor(Q1)≠?，cor(Q2)≠?，則

cor(Q1×Q2)=cor(Q1)×cor(Q2)

定理1.1設S和Q為Y中兩個錐，S∩Q={0}，B是S的基，?V0∈N(0)使得Q∩(B+V0)=?。則存在點凸錐P使得S{0}?cor(P)且Q∩P={0}。

矛盾。

2 Benson真有效意義下集值均衡問題最優性條件

由0?cor(P)得cor(P)?P{0}于是

(2.1)

φ(X)∩-(cor(P)×cor(K))=?

(2.2)

(2.3)

于是

由(2.3)得

由0∈S得

因此

與(2.1)矛盾。

由φ在X上是廣義S×K-次類凸的、S×K?P×K及命題1.4知φ在X上是廣義P×K-次類凸的，所以vcl(cone(φ(X)+P×K))是凸集，由(2.2)、引理1.4及引理1.7知存在(s*，k*)≠(θY*，θZ*)使得

(s*，k*)∈(P×K)+

(2.4)

且

(s*，k*)∈(φ(X))+

(2.5)

由(2.5)得

即

(2.6)

由(2.4)知s*∈P+，k*∈K+。下證s*≠0。

反證法，若s*=0，則k*≠0，代入(2.6)得

k*(G(x))≥0，?x∈X

(2.7)

由假設得存在z1∈G(x′)使得z1∈-cor(K)。

由k*∈K+{0}得k*(z1)<0。由(2.7)得k*(z1)≥0，矛盾。由S{0}?cor(P)及引理1.6有s*(S{0})>0，因此s*∈S+i。

證明在定理2.1中，令ε=0，則存在s*∈S+i，k*∈K+使得

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.11)

定理2.2假設

(ⅱ) 存在s*∈S+i，k*∈K+使得

證明由(ⅱ)得

(2.12)

由x∈Ω得存在zx∈G(x)使得zx∈-K，由k*∈K+得k*(zx)≤0，因此k*(G(x))∩(-，0]≠?。由(2.12)得于是

再由s*(S)≥0得

因此

由引理1.3有

由s*∈S+i得s*(-S{0})<0。因此

于是