準確產生數學美

康寧

◆摘? 要：“數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每個公民應該具備的基本素養。”新課標提出的數學素養不僅培養學生的知識和技能，更是培養學生的思維能力和創新能力。尺規（指無刻度的直尺和圓規）作圖不需要刻度，不用測量，而是以基本圖形的性質和判定為依據，比測量更精確地進行基本作圖，在初中數學教材中有獨特的意義，嚴謹的作圖步驟體現著數學圖形獨特的簡潔美、和諧美，規范的尺規作圖正是培養學生形成數學素養的一種體現。

◆關鍵詞：尺規作圖;規范準確;簡潔美;和諧美

我在指導學生尺規作圖時，只要學生能熟練操作，卻忽視了嚴謹的推理證明和的語言表述，導致學生作圖不夠規范，還不能準確地用語言描述作圖步驟和作圖依據，也體會不到數學的魅力，學生知其然不知其所以然。所以，學生不但要熟練使用作圖工具，還要結合圖形的性質和判定方法，對所要求作的圖形的特征進行分析，逆向思考作圖思路，能準確描述作圖步驟，準確操作，并會用尺規作圖方法解決一些實際問題。

以初中學段的幾種基本作圖（如：①做一條線段等于已知線段②做一個角等于已知角③做已知角的角平分線④做已知線段的垂直平分線⑤過直線外一點做已知直線的垂線等）為載體，熟練掌握幾種基本圖形的做法，正確理解它們的作圖原理（圖形的性質和判定），以達到規范準確，并綜合幾種做法做出較復雜的目標圖形（如三角形的重心、垂心、內心、外心等），理解其理論依據，進一步能解決簡單的實際問題。

一、準確描述作圖語言

新課程要求尺規作圖要保留作圖痕跡，作圖時畫出的所有點和線不可隨意擦去，具體的作法學生會用語言準確描述即可，但學生不規范、不準確的口頭語言描述不但會使作圖出錯，更是學生對作圖原理不理解的體現。

例 1：如下圖，已知線段a和b，求作一條線段AD，使它的長度等于2a-b。

學生口頭描述如圖（1），①作射線AM;②在射線AM上截取AB=BC=a，CD=b，則線段AD即為所求。

錯誤分析：作圖語言不嚴密，當在射線上兩次截取時，要說清楚是否“順次”，而在求線段差時，要交待截取的方向。

正確描述：如圖（2），①作射線AM;②在射線AM上，順次截取AB=BC=a;③在線段CA上截取CD=b，則線段AD就是所求作的線段.學生描述的不嚴謹會導致與目標圖形不一致的圖形出現，如圖（1），通過親身嘗試，學生才能體會到數學語言的嚴謹性，并能規范描述作圖過程。

例2：求作一個角等于已知角∠MON，如圖（1）。

學生口頭描述如下：如圖（2），①作射線O1M1;②在圖（1），以O為圓心作弧，交OM于點A，交ON于點B;③以O1為圓心作弧，交O1M1于C;④以C為圓心作弧，交于點D;⑤作射線O1D.則∠CO1D即為所求的角。

錯誤分析：作圖過程中出現了不準確的作圖語言，在作弧時，應準確描述圓心和半徑，即以某點為圓心，以某條線段的長為半徑或以任意線段的長為半徑作弧。

正確描述：如圖（2），①作射線O1M1;②在圖（1）上，以O為圓心，任意長為半徑作弧，交OM于點A，交ON于點B;③以O1為圓心，OA的長為半徑作弧，交O1M1于點C;④以C為圓心，以AB的長為半徑作弧，交前弧于點D;⑤過點D作射線O1D.則∠CO1D就是所要求作的角。

規范準確的語言描述，體現出對問題本質的理解，在我的引導下，學生嘗試用規范準確的語言描述作圖步驟，并完成了全部的作圖步驟，同學們豁然開朗，體會到此作圖過程正是依據“OA=O1C，OB=O1D，AB=CD，從而得到△AOB≌△CO1D（SSS）”的道理。

二、理解尺規作圖的理論依據

發現問題：學生在練習尺規作圖時，只是把圖作出來就認為完成任務，卻沒有思考為什么要這樣做，依據是什么？僅僅感到趣味，卻沒有理解其中的道理，不會應用，不會拓展，不能體會到知識的生成過程。例如：在學習“點與圓”、“直線與圓”的位置關系時，遇到求作三角形的內心與外心時，學生卻不知所措。

解決辦法：遇到這種情況，我引導學生先要理解所求作圖形的特征，以內心為例，因為三角形的內心是三角形的內切圓的圓心，三邊與圓同時相切， 圓心到三邊的距離相等，這樣就想到了角平分線的性質，也就是說我們要找的內心同時在三角形三個角的角平分線上，即它們的交點，有了這樣的推理分析，學生就能理解內心的含義，從而很快地完成作圖，細心的學生竟然很快發現，在作圖時，只需做出兩條角平分線即可，因為兩條相交直線確定一個點，我又啟發學生思考：“為什么沒作出來的第三條角平分線一定過這點呢？”就這樣，在學生的自主探究中，充分體會到了尺規作圖的奧妙所在，獲得了成功的喜悅感，在喜悅的促使下，動手操作更加規范、準確。他們在理解三角形內心的作圖意義的基礎上，再去作外心時，就是水到渠成、得心應手。形成了思考與推理的習慣，學生還能運用類比思想熟練地確定某段弧所在的圓和圓心、作正六邊形、分割四邊形等此類問題。

三、在解決實際問題中，感受尺規作圖對思維的促進功能

例3：如圖，RtΔABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，用圓規和直尺作圖，用兩種以上方法把它分成兩個三角形，且要求其中一個三角形是等腰三角形。（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）。

這道題目綜合性強，可以通過作線段、作線段的垂直平分線、作角平分線、作角等都可以完成，是尺規作圖的拓展應用。因為學生已經掌握幾種基本作圖方法和原理，我采取讓學生分組交流，合作探究的學習方式，鼓勵學生盡可能想出多種作圖方法來，充分拓展了學生的思維，學生可能想到的方法越多，就對知識點掌握越熟練，學習的興趣和熱情有了很大的提高。

再如，在人教版八年級數學上冊教材中，有這樣的實際問題：如圖，電信部門要修一座電視信號發射塔。按照設計要求，發射塔到兩個城鎮A、B的距離必須相等，到兩條高速公路OM和ON的距離也必須相等。發射塔P應修建在什么位置？在圖上標出它的位置。

問題的提出就是旨在用基本的尺規作圖解決實際問題，學生在作圖的過程中既認識到了角平分線和線段垂直平分線的性質，又能感受到尺規作圖在生活中的意義。因此，在尺規作圖教學過程或課后作業中，補充條件開放和結論開放類型的作圖題，或將實際生活中的問題數學化，基本作圖方法生活化，激發了學生的應用意識，使學生認識到自己掌握的幾種基本作圖方法可以綜合應用，擴大了學生的思維空間。課后，我還鼓勵學生可以在板報設計，手抄報設計發揮自己的想象力，用自己已掌握的尺規作圖方法設計美麗的圖案，體會數學圖形的簡潔美、和諧美，激發學生探索欲望，提高學生的空間觀念、邏輯思維能力和實踐操作能力。

尺規作圖操作規范、推理嚴謹，體現數學的學科特點與符合自然的數學美，是簡潔美、和諧美的獨特展示，在解決問題時，規范的尺規作圖技能具有較強的綜合性，實用性，能養成學生嚴謹的邏輯思維習慣和熟練的動手操作技能，并能理解求作圖形的完成是規范作圖和幾何推理有機結合的結果，體會數學知識的生成過程。

現實中學生只有在題目有要求的時候，才用尺規作圖，還不能熟練地把尺規作圖用在一些添加輔助線的問題當中，沒有形成自然的數學習慣。所以，從自身做起，嚴格要求自己，在對學生的輔導學習中，我要做好示范，規范自己的語言描述和作圖步驟，用自己嚴謹的數學習慣在潛移默化中影響學生，使學生把規范尺規作圖形成一種自然的數學習慣。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（CIP）.北京師范大學出版，2012.