關于大數定律的教學思考

摘要：大數定律揭示了隨機變量頻率的穩定性，是概率論的精華。由于本節內容比較抽象，理論性較強，學生在學習過程中不容易理解，本文嘗試從生活實例出發，逐步介紹大數定律內容，對大數定律本質進行探討。

關鍵詞：大數定律;隨機變量;頻率;穩定性

中圖分類號：G642.4 ????文獻標識碼：A

在大量重復性試驗中，人們觀察到，隨機事件發生的頻率穩定在一個具體數值附近。比如說，對于拋硬幣試驗，如果向上拋一枚硬幣，硬幣落下后，可能是朝上，也可能是朝下，但是當拋硬幣試驗重復多次進行時，就會發現硬幣朝上和硬幣朝下發生的次數各占總次數的一半。大數定律從數學角度出發揭示了隨機變量頻率的穩定性，具體研究了穩定性的確切含義以及出現的條件。

1大數定律的起源

研究隨機變量頻率的穩定性，類似于利用數學分析中極限的思想。在不改變試驗條件下，當試驗次數無限增大時，討論頻率是否逐漸穩定，由此得到概率的定義。

在重伯努利試驗中，當試驗次數充分大，頻率趨近于一個穩定數值，也就是概率，即，與有較大偏差的發生的可能性非常小，這就是頻率穩定性的真正含義。用數學語言描述，就可以得到下述伯努利大數定律。

伯努利大數定律：設表示重伯努利試驗中事件發生的次數，為事件在每次試驗中發生的概率，則對任意的，有

（2）

成立。

證明：可以借助切比雪夫不等式進行證明，詳見文獻[2]第六章。

伯努利大數定律是歷史是第一個研究頻率穩定性的定理。在實際推斷中，當試驗次數很大時，我們可以借助伯努利大數定律用頻率來近似表示事件概率。

2弱大數定律

伯努利大數定律中隨機變量的期望和方差都存在，對于更一般的情形，比如對于獨立同分布的序列，只知道期望存在的條件下，仍然可以考慮頻率穩定性問題，稱為弱大數定律（辛欽大數定律）。

弱大數定律（辛欽大數定律）：設為一列隨機變量組成的序列，它們之間相互獨立的，且服從同一分布，若數學期望，存在，則對任意的，有

（3）

成立，其中表示前項的算術平均值。

證明：詳見文獻[2]第六章。

辛欽大數定律給出了近似求解隨機變量數學期望的方法。實際生活中經常用算術平均值去估計隨機變量的均值。如：用觀察到的某地區5000個人的平均壽命作為該地區的人均壽命的近似值。

3大數定律舉例

例：用儀器檢測已知物體的質量，經過次獨立測量，得到的測量數據分別為，假設儀器不存在誤差，問：當充分大時，儀器測量方差的值是否可取為？

解： 設為獨立同分布的隨機變量，具有數學期望與方差

，，

若儀器不存在誤差，則，即有. 記

，

則為獨立分布的隨機變量，且

，

由辛欽大數定律定律，可得

從而當充分大時，可以取作為儀器測量的方差。

4結語

大數定律揭示了隨機事件中偶然現象背后所隱藏的必然規律，是概率論與數理統計中非常重要的內容。除了伯努利大數定律和辛欽大數定律之外，還有泊松大數定律、切比雪夫大數定律以及馬爾可夫大數定律。通過學習大數定律，掌握其本質思想，有助于解決一些實際問題。

作者簡介：郭閃閃（1991.05—）女，漢族，河南周口人，重慶師范大學講師，博士，研究方向：偏微分方程。

參考文獻

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