三等分任意角探究

岳斌

摘要：三等分任意角是古希臘人所提出來(lái)的，并且一直到現(xiàn)在都是數(shù)學(xué)界中的熱點(diǎn)難題。而此題的難點(diǎn)就在于采用尺規(guī)作圖法難以進(jìn)行準(zhǔn)確的等分。雖然有的學(xué)者從代數(shù)的角度出發(fā)，論證了其并不可行，但是如果用代數(shù)與幾何相結(jié)合的方法來(lái)進(jìn)行分析，那么就能夠發(fā)現(xiàn)任何一個(gè)角都可以進(jìn)行三等分。而如何來(lái)實(shí)現(xiàn)三等分任意角，也有很多學(xué)者進(jìn)行了研究。自從計(jì)算機(jī)誕生以來(lái)，計(jì)算機(jī)所具有的強(qiáng)大的計(jì)算能力，為人們解決各種數(shù)學(xué)難題提供了有力的支持。文中，主要利用計(jì)算機(jī)，就對(duì)三等分任意角的作法及證明進(jìn)行了介紹。

關(guān)鍵詞：三等分;任意角;作法;證明

中圖分類號(hào)：G267 ????文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

前面的話：三等分任意角是一個(gè)自古希臘以來(lái)未解的世界難題。此難題的作法要求是采用尺規(guī)作圖法。但是如今有計(jì)算機(jī)，利用計(jì)算機(jī)卻可以解決這一千古難題。

文章研究方向：利用計(jì)算機(jī)解決三等分任意角（0-360敖牽┑奈侍狻？

作圖工具：計(jì)算機(jī)（幾何畫板5.0）。

理論依據(jù)：幾何畫板5.0的特點(diǎn)。

幾何畫板5.0特點(diǎn)是移動(dòng)圓心（在平面內(nèi)，在直線或線段上，在圓周上）的位置，可以改變圓的大小。

1三等分任意角的發(fā)展歷史

在世界數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中，古希臘人做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)，希臘也被后世稱作是幾何學(xué)的故鄉(xiāng)。在古希臘人看來(lái)，模棱兩可的事物不可取，只有直線和圓才具備審美的基本要求，明確得讓人無(wú)可挑剔。并且僅僅需要邊緣平直的相關(guān)工具便能夠從心所欲地繪制出一條直線，通過(guò)一端固定、一端旋轉(zhuǎn)的工具也能夠繪制出一個(gè)圓。因此古希臘人在進(jìn)行幾何作圖時(shí)只能夠使用圓規(guī)及直尺。到了公元前六至四世紀(jì)，古希臘人不斷嘗試通過(guò)無(wú)標(biāo)記直尺與圓規(guī)來(lái)實(shí)現(xiàn)以下目的：（1）三等分某一任意角;（2）根據(jù)任一立方體繪制出其體積兩倍的立方體;（3）根據(jù)任一圓繪制出等于于其面積的正方形。這三個(gè)問(wèn)題被后人三等分角問(wèn)題，倍立方積問(wèn)題以及化圓為方問(wèn)題。針對(duì)這三個(gè)問(wèn)題，特別是任意角三等分問(wèn)題，相關(guān)學(xué)者通過(guò)深入研究后發(fā)現(xiàn)，通過(guò)無(wú)標(biāo)記直尺以及圓規(guī)無(wú)法有效解決這類問(wèn)題。著名數(shù)學(xué)家萬(wàn)澤爾于1837年證明了無(wú)法通過(guò)尺規(guī)來(lái)完成任意角三等分以及立方倍積的證明;克萊因也于1895年根據(jù)已有的研究成果，針對(duì)這三個(gè)問(wèn)題做出了不可能應(yīng)用尺規(guī)作圖的簡(jiǎn)明證法。但隨著信息技術(shù)水平的不斷提升，當(dāng)前通過(guò)計(jì)算機(jī)的輔助則能夠有效解決這類千古難題。

2三等分任意角的作法

如圖：已知任意∠AOB（為0—360度的角。）

（1）以∠AOB的頂點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧交角兩邊，分別為A、B兩點(diǎn)。

（2）在AB弧上任取一點(diǎn)C。以C點(diǎn)為圓心，CA長(zhǎng)為半徑作⊙C。⊙C交AB弧分別為A、D兩點(diǎn)。

（3）再以D點(diǎn)為圓心，DC長(zhǎng)為半徑作⊙D（使⊙D與⊙C為等徑圓）。圓D交AB弧分別為C、E兩點(diǎn)。連接O、E兩點(diǎn)。

（4）點(diǎn)擊拖動(dòng)⊙C的圓心C點(diǎn)（C點(diǎn)則在AB弧上按順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)），使OE與OB重合。

（5）分別連接O、C和O、D兩點(diǎn)。則OC和OD為∠AOB的三等分線。

類似地，可把0—360度角任意5等分、7等分……N等分。

證明：如圖。

（1）由作圖可知，CD既是⊙C的半徑，又是⊙D的半徑，即⊙D和⊙C為兩個(gè)等徑圓。

（2）因?yàn)閹缀萎嫲宓奶攸c(diǎn)是移動(dòng)圓心的位置，可以改變圓的大小，所以拖動(dòng)⊙C的圓心C點(diǎn)時(shí)，C點(diǎn)則在AB弧上按順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向運(yùn)動(dòng)，⊙C的半徑（CA和CD））則增大（或縮小）。

（3）因?yàn)椋篊D既是⊙C的半徑，又是⊙D的半徑。（作法）

所以：當(dāng)⊙C的半徑CD增大（或縮小）時(shí)，⊙D和⊙C兩個(gè)等徑圓的半徑則同時(shí)增大（或縮小）。

即當(dāng)半徑CD增大（或縮小）時(shí)，⊙D和⊙C兩圓總保持等徑圓關(guān)系。

故所以：C點(diǎn)在AB上的順逆運(yùn)動(dòng)中，同時(shí)改變了⊙D和⊙C兩個(gè)等徑圓的大小，但⊙D和⊙C仍保持等徑圓關(guān)系。

（4）因?yàn)椋篊點(diǎn)在AB弧上的運(yùn)動(dòng)中，⊙D和⊙C總保持等徑圓關(guān)系。

所以：C點(diǎn)在AB弧上的運(yùn)動(dòng)中，⊙D和⊙C的半徑關(guān)系是：AC=CD=DE。

故所以：當(dāng)拖動(dòng)C點(diǎn)，使OE與OB重合（或使E點(diǎn)與B點(diǎn)重合）時(shí)，則有：AC=CD=DB。（等徑圓關(guān)系）

（5）因?yàn)椋篈C=CD=DB。（已證）

所以：∠AOC=∠COD=∠DOB。（在同圓或等圓中，弦相等所對(duì)圓心角相等）也即OC和OD為∠AOB的三等分線。證畢。

3結(jié)語(yǔ)

綜上所述，任意角三等分是困擾歷史上無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)名家的千古難題，雖然已經(jīng)被相關(guān)學(xué)者證明通過(guò)尺規(guī)作圖無(wú)法有效解決，但在科學(xué)技術(shù)日趨發(fā)達(dá)的當(dāng)代社會(huì)，這一問(wèn)題能夠通過(guò)信息技術(shù)的應(yīng)用來(lái)得到突破。

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