工程力學(xué)專業(yè)線性代數(shù)課程的4C/ID模式教學(xué)設(shè)計探索

許孟輝 王新新

[摘 要] 四要素教學(xué)設(shè)計（4C/ID）模式可有效提高復(fù)雜學(xué)習(xí)任務(wù)學(xué)習(xí)效率與效果。針對工程力學(xué)專業(yè)線性代數(shù)課程內(nèi)容相對抽象、縱橫交錯、演繹教學(xué)的特點，探索性地建立了4C/ID教學(xué)設(shè)計架構(gòu)，該架構(gòu)有助于再現(xiàn)科學(xué)探索與發(fā)現(xiàn)的過程，實現(xiàn)教學(xué)從“演繹”到“連貫性直覺”的轉(zhuǎn)變，為工程力學(xué)專業(yè)的線性代數(shù)教學(xué)提供一種可行的參考。

[關(guān)鍵詞] 4C/ID模式;工程力學(xué)專業(yè);線性代數(shù);教學(xué)設(shè)計;復(fù)雜學(xué)習(xí)

[基金項目] 國家自然科學(xué)基金青年項目“多源不確定性環(huán)境下動載荷識別的非侵入型非概率方法”（11802148）

[作者簡介] 許孟輝（1986—），男，浙江寧波人，工學(xué)博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事高等教育教學(xué)改革、力學(xué)反問題等研究;王新新（1987—），女，浙江寧波人，高等教育學(xué)碩士，主要從事高等教育學(xué)研究。

[中圖分類號] G642.0 ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A ? ?[文章編號] 1674-9324（2020）36-0288-03 ? ?[收稿日期] 2019-09-16

力學(xué)與數(shù)學(xué)是唇齒相依的依賴關(guān)系，數(shù)學(xué)理論的發(fā)展有利于力學(xué)領(lǐng)域部分問題的成功解決，力學(xué)領(lǐng)域新問題的涌現(xiàn)反哺數(shù)學(xué)家有意義有價值的研究方向或問題。正是源于二者密不可分的相互聯(lián)系，相關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的學(xué)習(xí)對掌握力學(xué)理論、實現(xiàn)理論應(yīng)用是不可缺少的。其中，線性代數(shù)課程是工程力學(xué)專業(yè)必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一，它對本科生抽象邏輯思維能力的培養(yǎng)十分關(guān)鍵。正如錢學(xué)森先生對力學(xué)技術(shù)科學(xué)的定位，力學(xué)發(fā)展要把握抽象思維與應(yīng)用思維之間的平衡，既要避免失去物理性的抽象，又要防止力學(xué)的純實用主義。從這個方面講，工程力學(xué)專業(yè)線性代數(shù)課程的教學(xué)定位應(yīng)著眼于如何處理實用性和思維訓(xùn)練二者之間的關(guān)系[1]，且從服從國家創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略看，尤其不能忽略思維訓(xùn)練。

工程力學(xué)專業(yè)線性代數(shù)課程的基本內(nèi)容大致定型，主要包括行列式、矩陣、向量空間、線性方程組、特征值與特征向量等。這門課程具有如下特點：各部分內(nèi)容呈塊狀分布，看似彼此獨立卻縱橫交錯形成網(wǎng)狀，導(dǎo)致源頭不清晰、主線不突出、任務(wù)不明確;多數(shù)概念、定義與理論較為抽象，學(xué)生難以理解相關(guān)內(nèi)涵與合理性，如為什么會形成行列式、矩陣乘法源自何處，學(xué)生對純理論學(xué)習(xí)興趣不高，影響學(xué)生學(xué)習(xí)積極性;課程設(shè)計脫離專業(yè)背景，教學(xué)思維以演繹傳授（定義性質(zhì)與定理運算方法與技巧簡單數(shù)學(xué)示例）為主，忽略現(xiàn)象直奔本質(zhì)，對學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決專業(yè)問題的能力未進(jìn)行有效訓(xùn)練，不利于學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)造思維能力的培養(yǎng)。由于線性代數(shù)課程對工程力學(xué)專業(yè)有著舉足輕重的作用，在諸多專業(yè)課中都需要用到線性代數(shù)的相關(guān)知識，如時間/空間離散數(shù)值計算方法所誘導(dǎo)的線性方程組問題、結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析所誘導(dǎo)的特征值問題。因此，為了培養(yǎng)和提高工程力學(xué)專業(yè)本科生利用線性代數(shù)相關(guān)知識解決后續(xù)專業(yè)課中實際問題的能力，進(jìn)一步研究改進(jìn)線性代數(shù)課程教學(xué)設(shè)計是十分必要的。

一、四要素教學(xué)設(shè)計（4C/ID）模式

自教學(xué)設(shè)計學(xué)科誕生以來，該領(lǐng)域已經(jīng)提出諸多傳統(tǒng)的教學(xué)設(shè)計模式，如“肯普模型”“史密斯-雷根模型”等[2，3]。但這些教學(xué)設(shè)計模型通常將復(fù)雜學(xué)習(xí)任務(wù)分解為簡單成分以各個擊破，缺少重新整合，側(cè)重概念、理論的單向講授，不適用于學(xué)生復(fù)雜學(xué)習(xí)任務(wù)的完成。在這樣的背景下，荷蘭開放大學(xué)著名教學(xué)設(shè)計專家麥利恩伯爾教授等人發(fā)展提出了四要素整體性教學(xué)設(shè)計模式，即Four-Component Instructional Design（4C/ID），這種教學(xué)設(shè)計模式將整體性學(xué)習(xí)任務(wù)、支持性信息、即時信息、分任務(wù)練習(xí)四個要素作為訓(xùn)練復(fù)雜認(rèn)知技能、改進(jìn)業(yè)績表現(xiàn)的主要設(shè)計因素[4，5]，運作機制包括以任務(wù)為中心的有效性機制、支持性信息的輔助機制、即時信息的運轉(zhuǎn)機制和分任務(wù)練習(xí)的整合機制[6]。

整體性學(xué)習(xí)任務(wù)是4C/ID的核心設(shè)計要素，設(shè)計原則側(cè)重具體真實、整體綜合、付出必達(dá)三個方面，力爭使學(xué)生在完成過程中能夠?qū)崿F(xiàn)對知識、技能與態(tài)度的協(xié)調(diào)、整合和遷移。根據(jù)構(gòu)成性技能的不同，它可以分為復(fù)用技能學(xué)習(xí)任務(wù)和非復(fù)用技能學(xué)習(xí)任務(wù)。前者是指在不同層級的整體性學(xué)習(xí)任務(wù)中未發(fā)生變化的技能，可以通過反復(fù)強化訓(xùn)練達(dá)到高度自動化，從而在解決相同情境問題時無須推理與分析，如矩陣乘法規(guī)則、矩陣初等變換規(guī)則等。非復(fù)用技能學(xué)習(xí)任務(wù)在不同層級的整體性學(xué)習(xí)任務(wù)中隨著問題情境的不同而發(fā)生變化，對學(xué)生而言是新異的且需要付出努力才能完成。以任務(wù)為中心是4C/ID教學(xué)設(shè)計過程的起點，相較“以問題為中心”的教學(xué)設(shè)計目標(biāo)而言，對提高學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)效果更具優(yōu)勢[6]。

支持性信息主要包括設(shè)計支持信息、分析認(rèn)知策略與分析心智模式，為非復(fù)用性學(xué)習(xí)任務(wù)中解決問題和推理分析提供有效指導(dǎo)，協(xié)助學(xué)生在舊有知識和新學(xué)習(xí)任務(wù)之間奠定認(rèn)知基礎(chǔ)，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知圖式建構(gòu)過程。支持性信息作為連接新舊知識的重要紐帶，是實現(xiàn)學(xué)生有效學(xué)習(xí)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

即時信息是分任務(wù)練習(xí)的先決條件，二者皆服務(wù)于復(fù)用技能學(xué)習(xí)任務(wù)。即時信息設(shè)計的關(guān)鍵是設(shè)計認(rèn)知規(guī)則和正確運用這些規(guī)則所必備的知識，如簡單事實、概念或原理，通常以較小信息單元呈現(xiàn)，促進(jìn)學(xué)生對復(fù)用技能學(xué)習(xí)認(rèn)知圖式的自動化。分任務(wù)練習(xí)的目的在于不增加學(xué)生認(rèn)知負(fù)荷前提下實現(xiàn)復(fù)用技能的高度自動化。

二、線性代數(shù)課程4C/ID教學(xué)設(shè)計

目前，國內(nèi)諸多高校針對線性代數(shù)課程已經(jīng)做了許多有益研究和探索，并獲得很多有意義的成果，多數(shù)研究著重于應(yīng)用型工科專業(yè)的教學(xué)方法改革，如經(jīng)濟管理專業(yè)、物理類專業(yè)[7]，但教學(xué)設(shè)計探討較少且處于探索階段[3，8]，尤其是工程力學(xué)專業(yè)線性代數(shù)教學(xué)設(shè)計更未見公開報道。

1.學(xué)習(xí)任務(wù)及分解。如圖1所示，線性代數(shù)課程的整體性學(xué)習(xí)任務(wù)為線性代數(shù)方程組的求解與應(yīng)用，鑒于學(xué)生對舊有知識的連貫性，從學(xué)生熟知的概念，如消元法、方陣系數(shù)線性方程組切入，即以一元一次、二元二次、三元三次方程（組）為對象引入線性代數(shù)領(lǐng)域。非復(fù)用技能學(xué)習(xí)任務(wù)依次遞進(jìn)分別設(shè)置為方陣系數(shù)線性方程組求解、非方陣線性方程組求解、特征值與矩陣對角化，其中方陣系數(shù)線性方程組是非方陣線性方程組的特殊情況，并應(yīng)用于特征值與矩陣對角化。進(jìn)一步地，在扼要地給定相關(guān)知識背景條件下，完成非復(fù)用技能拓展學(xué)習(xí)任務(wù)，如結(jié)構(gòu)有限元分析（或Euler方程的差分代微分分析）、主應(yīng)力/主方向判斷、結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析。復(fù)用技能學(xué)習(xí)任務(wù)分解為行列式計算、矩陣運算、伴隨矩陣運算、矩陣初等變換、矩陣與向量組秩數(shù)判斷、線性方程組求解、向量內(nèi)積運算，并注重內(nèi)在遞進(jìn)關(guān)系，進(jìn)一步通過分任務(wù)練習(xí)使得學(xué)生高度自動化完成這些任務(wù)。

2.支持性信息設(shè)計。支持性信息的設(shè)計服務(wù)于非復(fù)用技能學(xué)習(xí)任務(wù)。針對方陣系數(shù)線性方程組求解任務(wù)，重點完成兩種理論方法的推導(dǎo)與學(xué)習(xí)，即Cramer法則與逆矩陣?yán)碚摗ramer法則從一元一次、二元二次、三元三次方程（組）歸納，引入行列式概念與性質(zhì);逆矩陣?yán)碚搹囊辉淮畏匠套餍问郊傧耄刖仃嚫拍钆c運算規(guī)則。以上兩種方法分別從標(biāo)量角度、矩陣角度理解線性方程組。針對非方陣系數(shù)線性方程組求解任務(wù)，重點學(xué)習(xí)解存在性定理、向量組線性相關(guān)/無關(guān)、向量空間。解存在性定理從消元法所蘊含的矩陣行變換結(jié)果引入，講授矩陣秩數(shù)的概念與性質(zhì);向量線性相關(guān)/無關(guān)從矩陣行變換所獲得的列向量關(guān)系引入，講授向量組秩數(shù)及計算;向量空間從線性無關(guān)向量組引入并拓展。針對特征值與矩陣對角化任務(wù)，重點完成歐氏空間、相似矩陣及矩陣對角化的相關(guān)理論推導(dǎo)。

3.即時信息與分任務(wù)練習(xí)。在相關(guān)背景知識引入條件下，即時信息以較小信息單元形式給出，要求學(xué)生將其內(nèi)化為類似“加減乘除”四則運算，用以指導(dǎo)分任務(wù)練習(xí)，即時信息主要包括行列式性質(zhì)、逆矩陣性質(zhì)與矩陣行變換，大幅度地減少學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷。為實現(xiàn)復(fù)用技能高度自動化，分任務(wù)練習(xí)主要包括行列式練習(xí)、逆矩陣練習(xí)、列向量組的極大無關(guān)組練習(xí)、線性方程組解結(jié)構(gòu)練習(xí)、向量空間基底練習(xí)。

4.4C/ID模式下的教學(xué)思路。傳統(tǒng)教學(xué)思路因教材內(nèi)容編寫的限制，往往從線性代數(shù)分析的源工具（行列式、矩陣）出發(fā)，忽略學(xué)生對舊有知識連貫性的認(rèn)知需求，間接導(dǎo)致學(xué)生對線性代數(shù)課程內(nèi)容的抵觸情緒，學(xué)習(xí)效率與效果不盡人意。在完成4C/ID教學(xué)設(shè)計后，教學(xué)思路以學(xué)習(xí)任務(wù)為中心指導(dǎo)，從消元法鏈接引入方陣系數(shù)線性方程組的求解新方法，依托這種新方法講授新概念與新原理、引入新工具（從標(biāo)量到矩陣），重視抽象邏輯思維能力強化。通過經(jīng)典力學(xué)問題培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。進(jìn)一步可以順其自然地過渡到非方陣系數(shù)線性方程組的求解問題（從矩陣到向量）。特征值與矩陣對角化有明顯的力學(xué)背景，相關(guān)理論可以看作是方陣系數(shù)線性方程組的應(yīng)用推廣。值得指出的是，4C/ID教學(xué)設(shè)計對線性代數(shù)講義或教材編寫也可提供指導(dǎo)。

三、結(jié)語

4C/ID教學(xué)設(shè)計模式在國內(nèi)外高校部分課程教學(xué)中正處于探索階段。針對工程力學(xué)專業(yè)在抽象邏輯思維與應(yīng)用思維折中的需求，本文應(yīng)用4C/ID模式完成線性代數(shù)課程整體性教學(xué)設(shè)計，從學(xué)生舊有知識連貫性出發(fā)促進(jìn)其對新學(xué)習(xí)任務(wù)認(rèn)知圖式的建構(gòu)，所建立的整體性教學(xué)設(shè)計架構(gòu)為工程力學(xué)專業(yè)的線性代數(shù)課程教學(xué)提供了有意義參考，同時為本專業(yè)數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課程教學(xué)設(shè)計提供了一種思路。

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