小符號(hào)大道理

朱淼

[摘 要] 由于研究對(duì)象的復(fù)雜性，高等工科課程中對(duì)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)，往往需要用到各種近似。在教材當(dāng)中，這些近似均以“≈”表示。但是，這一符號(hào)卻有不同內(nèi)涵。一部分是為了舍去問(wèn)題中次要影響因素以突出模型自身特性并簡(jiǎn)化計(jì)算，一部分是從微積分的角度舍去微元分析過(guò)程中的高階無(wú)窮小項(xiàng)，以得到問(wèn)題的微分描述。明確兩類(lèi)近似的內(nèi)涵并通過(guò)實(shí)例進(jìn)行解析有助于幫助學(xué)生們更深刻地理解高等工科教材中的理論推導(dǎo)及建模思想。

[關(guān)鍵詞] 高等數(shù)學(xué);微積分;工科教學(xué)

[基金項(xiàng)目] 本論文由嶺南師范學(xué)院人才專(zhuān)項(xiàng)（ZL2045）支持

[作者簡(jiǎn)介] 朱 淼（1983—），男，安徽蚌埠人，工學(xué)博士，嶺南師范學(xué)院物理學(xué)院講師，主要從事物理及材料科學(xué)相關(guān)方向研究。

[中圖分類(lèi)號(hào)] G642.0? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A? ? [文章編號(hào)] 1674-9324（2020）40-0343-02? ? [收稿日期] 2020-03-27

高等教育工科課程的研究對(duì)象和物理模型相比初等教育階段更具一般性，因而其數(shù)學(xué)建模過(guò)程往往會(huì)采用近似的方法對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，剝離次要因素，突出主要矛盾。微積分的引入賦予了近似更為廣泛的內(nèi)涵。從“四舍五入”這一初等形態(tài)，擴(kuò)大到微積分中的線性近似。為表述簡(jiǎn)潔，這些近似在高等工科教材中的推理過(guò)程中通常均以“≈”表示，使得學(xué)生們經(jīng)常將其混淆，在學(xué)習(xí)過(guò)程中難以深入理解這些近似背后的數(shù)學(xué)思想。特別是在學(xué)生們尚未深入理解微積分的思想內(nèi)涵時(shí)，頻繁遇到“≈”并混淆其含義，會(huì)對(duì)相應(yīng)課程的學(xué)習(xí)帶來(lái)非常不利的影響。

一般地，“≈”在高等工科教程中具有兩種含義。其一是為了突出模型特點(diǎn)，略去對(duì)模型特性影響較小的次要變量，使數(shù)學(xué)描述更直觀，運(yùn)算更簡(jiǎn)單，這樣的近似可以稱(chēng)之為“舍次留主”的“真”近似。“≈”后的表達(dá)式計(jì)算結(jié)果是與精確結(jié)果存在誤差的。第二種是在進(jìn)行微元分析時(shí)，對(duì)微元研究對(duì)象的線性近似或最低階近似，有時(shí)也表述為“略去高階無(wú)窮小”。此時(shí)，高階無(wú)窮小的舍去是不會(huì)影響模型最終表達(dá)式的精確性的，在取極限或積分求和后，所得數(shù)學(xué)表達(dá)式仍是模型的精確數(shù)學(xué)表達(dá)。下面舉例對(duì)此進(jìn)行說(shuō)明。

一、舍次留主的“真”近似

如圖1所示，現(xiàn)考察電偶極子軸線延長(zhǎng)線上某點(diǎn)A和軸中垂線上某點(diǎn)B的電場(chǎng)強(qiáng)度[1]。

這樣一來(lái)，A點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式大為簡(jiǎn)化，不僅可以減少不必要的冗余運(yùn)算，而且式中僅包含一個(gè)表示電偶極子自身特性的物理量ql（電偶極矩），更加突出了將電偶極子作為一個(gè)整體去研究的模型特征。

與A點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)表達(dá)式對(duì)比，變化一目了然，特征更為突出，計(jì)算更為簡(jiǎn)便。

通過(guò)這個(gè)例子可以看出，這種情形下的“≈”兩邊是存在誤差的，它是一種實(shí)實(shí)在在的近似。這樣的近似通常都出現(xiàn)在一個(gè)極大量和一個(gè)極小量的四則運(yùn)算中，在兩個(gè)量存在“？垌”或“？塏”關(guān)系的前提下使用。

二、等價(jià)無(wú)窮小近似

其中，對(duì)上式中δlcosθ項(xiàng)的處理不少教材直接給出了如下近似δlcosθ≈δr

當(dāng)θ→0時(shí)，略去方程中的高階無(wú)窮小項(xiàng)，即可得δlcosθ≈δr。可見(jiàn)，這里的“≈”表示舍去了高階無(wú)窮小項(xiàng)，其引入的誤差限定于一個(gè)高階無(wú)窮小，這在定性的近似表述中是完全無(wú)法體現(xiàn)的。這類(lèi)近似的實(shí)質(zhì)是為了得到dlcosθ=dr這樣的微分關(guān)系。而將這一微分關(guān)系代入電場(chǎng)力作功計(jì)算公式可得

這里我們得到的電場(chǎng)力作功的積分表達(dá)式是嚴(yán)格的，沒(méi)有任何近似和誤差。雖然推導(dǎo)過(guò)程中也用到了“≈”，但是這個(gè)近似與第一類(lèi)近似有本質(zhì)區(qū)別。

當(dāng)然，這里僅是以一個(gè)較為簡(jiǎn)單的實(shí)例對(duì)此進(jìn)行說(shuō)明。事實(shí)上，舍去高階無(wú)窮小是進(jìn)行微元分析導(dǎo)出微分方程時(shí)的常見(jiàn)步驟，在大學(xué)物理、流體力學(xué)、材料力學(xué)等高等工科課程中十分常見(jiàn)，有些模型背后的解析推導(dǎo)過(guò)程十分復(fù)雜，不能要求所有學(xué)生針對(duì)每個(gè)模型都能?chē)?yán)格導(dǎo)出其微元關(guān)系。但是，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生明辨兩類(lèi)近似，知道哪些時(shí)候是舍去次要變量，哪些時(shí)候是舍去高階無(wú)窮小量，這樣才能讓學(xué)生們真正理解“≈”背后的內(nèi)涵，做到對(duì)公式的推導(dǎo)過(guò)程知其然也知其所以然。

三、結(jié)語(yǔ)

目前高等工科教材中對(duì)各種近似均以“≈”表示，這雖然使問(wèn)題的描述簡(jiǎn)潔，條理清晰，但也使學(xué)生們易于混淆兩類(lèi)不同近似的根本思想，以至于在互聯(lián)網(wǎng)站上有大量學(xué)生發(fā)出“微積分究竟是近似還是精確的推導(dǎo)”這樣的疑問(wèn)。在清楚“≈”符號(hào)背后兩類(lèi)近似的內(nèi)涵之后，這些疑問(wèn)都會(huì)迎刃而解。這里也建議教材中涉及微元分析時(shí)盡可能給出詳細(xì)的推演過(guò)程，幫助學(xué)生們更好的理解微積分思想在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中的運(yùn)用以及兩類(lèi)近似的本質(zhì)區(qū)別。

參考文獻(xiàn)

[1]趙近芳，王登龍.大學(xué)物理簡(jiǎn)明教程（第3版·修訂版）[M].北京：北京郵電大學(xué)出版社，2017：162.

[2]陳信義.大學(xué)物理教程（第2版）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008：89.