拉格朗日乘數(shù)法教學(xué)內(nèi)容改革初探

姚紅梅 卜長江 林錳 許麗艷 孫麗珠

[摘 要] 以拉格朗日乘數(shù)法為例，探討大學(xué)微積分教學(xué)內(nèi)容改革。通過具體實例幾何直觀理解拉格朗日乘數(shù)法的本質(zhì)，進一步給出拉格朗日乘數(shù)法幾何解釋及拉格朗日乘子在經(jīng)濟學(xué)及代數(shù)學(xué)中的意義。

[關(guān)鍵詞] 拉格朗日乘數(shù)法;條件極值;拉格朗日乘子;梯度

[基金項目] 2018年01月-2021年12月黑龍江省高等教育教學(xué)改革項目“雙一流背景下的高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)研究”（SJGY20180102）（卜長江主持）;2014年01月-2017年12月國家自然科學(xué)基金面上項目“矩陣Drazin逆符號模式的研究”（11371109）（卜長江主持）

[作者簡介] 姚紅梅（1979—），女，黑龍江訥河人，理學(xué)博士，哈爾濱工程大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院講師，碩士生導(dǎo)師，主要從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)及組合與圖譜理論學(xué)術(shù)研究。

[中圖分類號] G642.0 ? ?[文獻標(biāo)識碼] A ? ?[文章編號] 1674-9324（2020）36-0197-03 ? ?[收稿日期] 2019-11-15

一、引言

中國高校要建設(shè)世界一流大學(xué)，辦最好的本科教育，就必須對傳統(tǒng)教育進行改革[1]。目前大部分大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)仍然偏重數(shù)學(xué)技巧與細節(jié)，對數(shù)學(xué)知識中蘊藏著的數(shù)學(xué)思想往往視而不見或忽略不計，這樣的數(shù)學(xué)教育使學(xué)生缺乏想象力和獨立思考能力，學(xué)生不能靈活運用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題，很難用數(shù)學(xué)的思維思考問題，不具備數(shù)學(xué)的思維分析能力[1]。微積分教學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，其教學(xué)內(nèi)容的改革對辦好本科教育十分重要。本文以拉格朗日乘數(shù)法教學(xué)為例，打破傳統(tǒng)教學(xué)中單純介紹拉格朗日乘數(shù)法理論證明，運用例題練習(xí)的教學(xué)模式。在課堂上運用互動式、啟發(fā)式教學(xué)模式，深度挖掘拉格朗日當(dāng)時給出拉格朗日乘數(shù)法時的思想，對拉格朗日乘子是怎么認(rèn)識的，進而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，實現(xiàn)挖掘掩藏在書本知識背后的思想，真正意義上進行微積分教學(xué)內(nèi)容改革，培養(yǎng)學(xué)生科研創(chuàng)造思維的目的。

1755年，數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日（1736—1813）在解決復(fù)雜幾何最值問題時提出拉格朗日乘數(shù)法，這種方法在經(jīng)濟、工程以及數(shù)學(xué)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用[2]。

以上給出拉格朗日乘數(shù)法的完整幾何解釋，易于學(xué)生深刻理解拉格朗日乘數(shù)法的數(shù)學(xué)本質(zhì)，能真正實現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和靈活運用知識能力，進而培養(yǎng)學(xué)生科研素養(yǎng)。

三、拉格朗日乘子的認(rèn)識

在利用拉格朗日乘數(shù)法求具有約束條件的極值問題時，要引入拉格朗日乘子。然而，拉格朗日乘子是否具有一些實際意義，這在傳統(tǒng)教學(xué)中很少提及。為了鼓勵學(xué)生把不同學(xué)科的知識融會貫通，培養(yǎng)學(xué)生多學(xué)科知識背景和結(jié)構(gòu)，進而激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)興趣，本分別文給出拉格朗日乘子在經(jīng)濟學(xué)與代數(shù)學(xué)中的意義。

1.在經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域拉格朗日乘子代表利益變化率。

由方程組（3）可知，λ為矩陣A的特征值，相應(yīng)極值點為屬于特征值λ的單位特征向量。

四、結(jié)論

本文通過具體實例觀察極值點出現(xiàn)的位置，進而從幾何角度給出拉格朗日乘數(shù)法;同時對拉格朗日乘子給出在經(jīng)濟學(xué)及代數(shù)學(xué)中的解釋。這樣的教學(xué)內(nèi)容開拓了學(xué)生視野，激發(fā)學(xué)生專業(yè)學(xué)習(xí)興趣，實現(xiàn)了本科教學(xué)真正意義的教學(xué)內(nèi)容改革。

參考文獻

[1]曹廣福.淺談大學(xué)非數(shù)學(xué)專業(yè)的微積分教學(xué)[J].中國大學(xué)數(shù)學(xué)，2018，1（1）：66-86.

[2]George B T， JR.Ross L F. Calculus and Analytic Geometry[M]. 7th Edition. The United States：Addison-Wesley Publishing Company，1987：936-946.

[3]Laurence D H，Gerald L B.Brief Calculus with Applications[M].5th Edition.The United States：McGRAW-HILL，INC，1993：516-527.

[4]Lim L.H.Singular Values and Eigenvalues of Tensors：A Variational Approach[J].In：Proceedings of the IEEE International Workshop on Computational Advances in MultiSensor Adaptive Processing，2005，1：129-132.