高中物理中三維運動的降維策略探討①

陶兆寶 陳新華

(江蘇省常州市第一中學，江蘇 常州 213003)

1 問題的提出

在高中階段，學生可以解決二維平面情景下的運動問題，如果將問題設計在三維空間情景下，學生往往會出現思維障礙，不能構建正確的三維空間運動模型，難以利用合適的物理規律和數學空間關系解決問題。所以要引導學生對三維空間中典型運動進行研究，理解其基本分析方法，從而培養學生的分析、解決問題的能力。[1]

2 三維運動的降維策略

2.1 應用數學方法將三維運動問題降至二維運動問題

例1：如圖1所示，實心長方體木塊長、寬、高分別是a、b、c，且a>c>b，有一個物體沿外表面從A至C1，求物體運動的最短路程。

圖1

方法一：利用數形結合方法，將三維問題降至二維。

需要找出可能的運動路徑，從A點出發可能由幾個平面路徑組合而成，將三維問題轉化為二維問題，得出共有6種運動路徑：ABCD→CC1D1D、ABB1A1→A1B1C1D1、AA1D1D→A1B1C1D1、ABCD→BB1C1C、ABB1A1→BB1C1C、AA1D1D→CC1D1D。

圖2

圖3

方法二：進行恰當的形體變化，利用平面旋轉使三維問題降至二維。

圖4

對于三維空間的運動，我們可以通過數學中的解析幾何法和平面旋轉法進行降維，將三維轉化為二維，使研究更為直觀簡潔，應用數學工具進行有效降維是空間運動研究的基本策略。

2.2 基于運動獨立性進行降維，透析三維空間背景下的二維平面問題

例2：如圖5所示,正方體上下表面水平，其下表面在水平地面上,正方體的邊長為L，將質量為m的小球從頂點A在∠BAD所在范圍內(包括邊界)分別沿不同的速度水平方向拋出,落點都在A1B1C1D1平面范圍內(包括邊界)。不計空氣阻力，重力加速度為g。若小球軌跡與AC1線段相交，在交點處的速度方向與水平面的夾角為α，求tanα。

圖5

將二維平面運動植入三維空間中，有利于學生由淺入深研究物體的空間運動。利用運動的獨立性，將三維空間運動按特定方向的單維度獨立進行分析，是研究三維空間問題的基本方法。通過這樣的研究可以使學生初步掌握三維空間運動的數理關系，強化數學和物理的融合，形成正確的解決立體空間運動的思路，為應用物理規律解決三維復雜運動問題、尋找空間幾何關系奠定堅實基礎。

2.3 巧用運動的合成和分解方法，構建三維立體空間中的二維平面問題

例3：如圖6所示,正方體上、下表面水平,空間有沿A→D方向的勻強電場，從A點沿AB方向分別以初速度v01、v02、v03水平拋出同一帶電小球(可視為質點)，小球分別從D1C1的中點、C1點、BC1的中點射出，且射出時的動能分別為Ek1、Ek2、Ek3。不計空氣阻力，重力加速度為g，求：

圖6

(1) 三次沿AB方向分別拋出時的初速度之比v01∶v02∶v03；

(2) 三次射出時的動能之比Ek1∶Ek2∶Ek3。

解析：(1) 物體的運動性質取決于初速度和所受的外力，根據三次小球落點的位置，由運動的獨立性，分別從空間的三個方向分析小球的初速度。小球在AB方向上不受力，沿AB方向做勻速直線運動；小球沿AD方向的初速為零，受到電場力作用，沿AD方向做初速為零的勻加速直線運動；小球沿AA1方向的初速為零，受到重力作用做自由落體運動。由于沿AD、AA1方向的加速度相同，且電場力與重力大小相等，所以加速度大小均為g。

由運動的合成和分解出發，從運動學、動力學角度分析運動關系，將三維問題轉化為二維問題，也是重要的問題解決方法。

2.4 利用等效替代方法，將三維立體問題轉化為二維平面問題

將三維空間中的速度和受多個力的關系，轉化為速度和等效力在二維平面中的關系，這種等效降維方法是將空間多力作用問題簡單化的另一個重要思想方法。

2.5 巧用物理規律，將三維問題轉化為兩點狀態關系問題

例3第(2)問與空間運動的功能關系相關，如果用前面的解法，思路與第(1)問類似，解答過程較為繁瑣。可根據研究問題的特征，從功能關系入手，將三維立體空間問題轉化為起、終兩點狀態關系問題，則解答過程會簡潔、清晰。

物理觀念是學生對物理概念和規律理解和應用的提煉升華，讓學生形成正確的物理觀念，根據物體運動的本質特征，將復雜的空間運動問題轉化成狀態關系問題，也是解決空間運動問題的重要方法。

3 結語

處理物體在三維空間運動的問題可以用數學方法進行有效降維，也可以通過運動的分解和合成以及力的等效處理進行有效降維，還可以根據物體運動的本質特性進行有效降維。從多種視角綜合研判物體的空間運動，將物理、數學方法進行有效融合，可提高學生的綜合分析和遷移能力，增強學生的創新意識，有效培養學生的關鍵能力。