基于大樣本的總體比例區間估計問題淺析

馬一江，韓利娜

（西安文理學院數學系，陜西 西安710065）

在實際工作當中，通常需要去估計具有某種特征的單位數占總體全部單位的比例，加以對總體比例進行判斷。例如，在燈泡合格率的抽樣當中，要通過樣本的不合格率來估計整批燈泡的不合格率，并作出整批燈泡是否合格的判斷。有時還需要從兩個對立總體中抽取兩個獨立樣本，估計兩個總體的比例之差。具體來講就是根據一定的概率即置信水平要求，估計總體比例或比例之差的范圍，從而形成此類問題的區間估計。

下文分別討論一個總體比例和兩個總體比例差的置信區間的求法。

1 一個總體比例的區間估計

1.1 大樣本np＞5，n（1－p）＞5 的情形

如果隨機變量X代表在n次二項實驗中具有某種特征的單位數，則X服從二項分布，其期望和方差分別為E（X）=nπ，D（X）=nπ（1－π），設隨機變量p=X/n，有E（p）=π，D（p）=π（1－π）/n，可知樣本比例p是總體比例π的無偏估計。根據中心極限定理，在大樣本條件np＞5，n（1－p）＞5 的情形下，可以把二項分布問題轉化為正態分布問題近似的去求解，所以有將p再經過標準化，得到服從N（0，1），在π未知的情況下，可以用p來代替π計算上式中z的分母，即：

若置信水平為1－α，則總體比例π的置信區間估計的概率表達式為即P｛p-

因此，總體比例π的置信水平為1－α的雙側置信區間為：

例1：某公司要估計一批總數為5000個插座的不合格率，于是隨機選取400個插座來進行監測，發現有32個插座不合格，試求該批插座的不合格率的90%的置信區間。

解：記合格插座為“X=0”，不合格插座記為“X=1”，整批產品的不合格率為π。已知n=400，N=5000，樣品不合格率p=32/400=0.08，np=32＞5，n（1－p）=32＞5。

大樣本條件滿足，置信水平1－α=90%，α=10%，查“標準正態分布表”，得到zα/2=z0.05=1.645。因此這批插座的不合格率π的90%的置信區間為：

因此，有90%的把握認為這批產品的不合格率的置信區間為5.77%～10.23%。

1.2 樣本容量n 較小或樣本比例p 在0 或1 附近

當樣本比例p在0 或1 附近或者樣本容量n較小時，二項分布呈偏態，不能用上面的正態分布來近似，去估計總體比例π的置信上下限，此時需要采用查表法，以例說明。

例2：向55 人調查關于推薦張某某市人大代表的意見，其中表示贊成的有21 人，試估計贊成張某成為市人大代表總體比例的95%置信區間。

解：已知n=55，X=21，查百分率的可信限表[1]。

首先查出與n=55，X=21 相對應的95%置信限為28、57，以及與n=60，X=21 相對應的95%置信限為23、49。

設所要求的95%置信下限為p1，上限為p2，則：

于是總體比例的95%置信下限為25.5%，置信上限為54% ，說明贊成張某成為市人大代表95%的可能在25.5%～54%范圍內。

2 兩個總體比例差的區間估計

在實際問題的研究中，一般需要對兩個總體比例之差作一個了解，比如對兩個大型公司、兩個大企業的某個板塊比例進行比較，還有就是對某兩個行業比例作一個比較等，這就涉及到兩個總體比例差的區間估計問題。

分別從兩個總體中各自隨機抽取容量為n1和n2兩個隨機樣本，設兩個總體比例分別是π1和π2，要估計π1－π2，先計算出兩個樣本比例p1和p2。可以證明出當n1和n2兩者都很大（都是大樣本）且總體比例不太接近0 或者1 時，p1－p2的抽樣分布近似服從正態分布。

其中，E（p1-p2）=π1-π2，D（p1-p2）=

由于π1和π2均未知，上述公式中分母的總體比例π1和π2需要用樣本比例p1和p2來代替，即這時統計量z近似服從N（0，1）。

如果置信水平為1－α，則兩個總體比例差π1－π2的置信區間估計的概率表達式為：

此時，總體比例之差π1－π2的置信度為1－α的近似置信區間為：

例3：某公司有兩個生產車間，分別用M 和N 表示。為了降低不合格率，該公司相關負責人對N 車間的工人進行相關培訓。5個月后，該公司負責人對兩個生產車間的產品質量進行了監測。從M 車間抽取了200 件產品，從N 車間抽取了220 件產品，查到不合格品率M 車間為pM=15%，N車間為pN=3%。試在95%的可靠度下，構造兩個車間不合格品率之差的置信區間。

解：已知pM=15%，pN=3%，nM=200，nN=220，當置信度為95%時，zα/2=1.96。

因此，（πM－πN）置信區間估計為[0.0658，0.1742]。根據這一結果，有95%的可靠程度車間M 的不合格品率比車間N 高6.58%～17.42%，估計的誤差為5.42%。

3 結束語

本文主要討論了兩個問題：①一個總體大樣本情況下，可以將原本的二項分布近似為正態分布，從而得到總體比例的置信區間。如果樣本容量較小，或者樣本比例p在0 或1附近，此時二項分布呈偏態，則不能用正態近似法來估計總體比例的置信限，這時可以借助統計專用表百分率的可信限來求。②兩個總體比例差的區間估計，從兩個二項總體中抽出兩個獨立大樣本，沿用正態近似的結論，建立了兩個總體比例差的區間估計結構。

對于總體比例差的區間估計效果如何，可以進一步做顯著性檢驗，這部分內容在后期將進一步研究探討。