古琴琴軫的窩頂結構及其科學依據(jù)

琴軫及其考古發(fā)現(xiàn)

琴軫，是古琴上用來調音的柱狀旋鈕，由一段雙股絲繩（稱作軫絨、絨剅、絨扣等）和一個開孔的小柱（稱作軫、弦軫、軫子，多為竹、木、角、牙、玉等材質）組成。絨剅在軫體頸孔穿出后，環(huán)繞頸部一圈再從頸孔穿入，從頂孔穿出，然后穿過琴體掛住琴弦。正向或反向擰動琴軫，會使得絨剅因為被絞緊或放松而發(fā)生長度變化，以此拉動琴弦，達到調音的目的（圖一）。有學者將這種調音機構稱為“絞繩式”調音機構或“軸向弦軸”（axial peg）[1]。考古發(fā)現(xiàn)表明，至少在公元前433年，古人便利用琴軫進行調音。1973年湖南長沙馬王堆三號漢墓出土了一張七弦琴，墓葬時代屬西漢早期（公元前168年）。在面板的軫池內有7個角質軫，八棱圓柱形，軫的上下貫穿一孔，上端還有一個側孔。軫高1.5cm，大端徑1cm，小端徑0.8cm（圖二）。軫池中七個弦孔的周圍，還有因旋軫而磨出來的圓形痕跡[2]。

圖一

圖二

1978年湖北隨州曾侯乙墓出土一件十弦琴，墓葬時代屬戰(zhàn)國早期（公元前433年）。出土時在底板與軫池對應的淺槽內發(fā)現(xiàn)了4枚琴軫（圖三）。這些琴軫為木質，圓柱形，中空，高2.6cm，外徑1.4cm，內徑0.8cm。在面板的軫池上同樣留有琴軫旋轉磨損的痕跡（圖四）[3]。

圖三

圖四

另外還有一類由青銅琴（瑟）軫和軫鑰組成的調音工具（圖五），其中青銅、骨質和石質琴軫達145枚，青銅、純銀、錯金或鎏金軫鑰達79把。其造型紋飾十分豐富，時代分布據(jù)稱從公元前6世紀的春秋時期至西漢中晚期。

圖五

根據(jù)這三種琴軫的考古發(fā)現(xiàn)所提供的圖像及數(shù)據(jù)所描繪的三維圖形分別如圖六中的Aa、Ab和B所示。據(jù)筆者考證[4]，這些琴軫都是利用“絞繩式”原理進行調音的。我們今天使用的傳統(tǒng)琴軫與其一脈相承，至少已經有近三千年的歷史。絞繩式琴軫在世界范圍內是唯一案例，反映了古代中國人的獨特智慧。它結構緊湊，輕巧簡單，外形簡潔且藏而不露，完全能夠滿足功能上的基本需要。在當時條件下無疑是一項原創(chuàng)性的偉大發(fā)明，在世界樂器史上具有獨特的地位。

圖六

琴軫的窩頂結構

但是，傳統(tǒng)古琴琴軫的結構特點也使得其存在一些問題。傳統(tǒng)琴軫依靠琴軫端面與軫池板之間的摩擦力來阻止琴軫打滑退轉。但隨著絨扣被逐漸絞緊，絨扣對琴軫的反向扭矩不斷增大。在反向扭矩增大到足以克服琴軫端面與軫池板之間的靜摩擦力矩時，琴軫就會發(fā)生突然打滑退轉。

然而，傳統(tǒng)琴軫經過兩三千年的演變，琴軫端面由平頂結構演變出了一種窩頂結構。這種窩頂結構就是在琴軫與軫池板接觸的端面上，加工出一個凹面，使得接觸面成為一個較窄的圓環(huán)（圖七）。古今琴人的長期實踐證實，這種結構可以有效的增加琴軫端面與軫池板之間的靜摩擦力矩，使打滑退轉的問題得到改善。

圖七

一些傳世琴學文獻對窩頂結構有相當詳盡的說明。如：

清《與古齋琴譜》（卷二·軫足犯礙指松滑搖動等病）：“軫頂面宜窩。如平，則旋轉滑動（旋緊即復退松）”。又：“軫子……，頂上圓如盤碟式，徑四分，高一分余。頂面上須周高中低，如窩形。則轉不退回。反是則滑，而旋不能定。”

清《天聞閣琴譜集成》（琴壇十二要·琴軫）：“軫之靠琴處須旋窩則不滑，其余以磨光為佳。”

民國《梅庵琴譜》（卷上十五·琴病及修整）：“琴軫犯迴轉者，宜將軫面用刀削之，使中央漥下，則不迴轉。”

窩頂結構究竟出現(xiàn)于何時？以目前筆者所能搜集的材料來看，尚不足以做出明確的考證結論。盡管唐宋明清傳世老琴的斷代已經有了大體公認的方法和標準，但由于琴軫與古琴時常分離，很難根據(jù)古琴本身的年代去確定琴軫的年代。就前述出土上古琴軫實物而言，在曾侯乙墓和馬王堆漢墓出土的琴軫上，并未觀察到窩頂結構。而出土青銅軫的頂端雖然看起來比較窄的圓環(huán)形接觸面，但這是因為其中心孔較大造成的，與特別設計的窩頂仍有本質不同。

從上述援引的清代琴學文獻可以想見，直至清代，仍有可能是平頂與窩頂結構并存，否則不會作為“治琴病”的措施被提及。但據(jù)此認為彼時窩頂結構剛剛出現(xiàn)，則理據(jù)不足。一則古代信息閉塞、交通不便，斫琴師之間也難以交流，一種細部結構要成為定制，可能需要相當長的時間。即使在當代，古琴熱剛剛興起，一些工廠轉產古琴的那幾年，筆者也曾經觀察到新制琴軫中出現(xiàn)平頂結構。二則琴學著作中涉及琴制的內容多專注于古琴本身，配件上的制作細節(jié)被忽略，也是可以想見的。因此傳世琴學文獻中提及窩頂結構的年代，只能作為窩頂結構出現(xiàn)年代的下限。

所幸傳世老琴軫多為玉、角、牙等珍貴材料所制，因此得益于其文物收藏價值而保留至今（大量的木制琴軫則可能因無人收藏而早已滅失）。從材質的老化程度、加工痕跡分析等方面入手，仍有可能得出一些年代信息。古玩藏家、青年古琴家白云龍先生所藏老琴軫頗豐。他從古玉鑒定角度出發(fā)，對從唐至清的玉軫進行分析后認為，如果將其藏品按照年代排列，可以觀察到從平頂?shù)奖P砣加工的粗制窩頂、再到球砣加工的球面窩頂這樣的演變路徑（帶有平頂結構和窩頂結構的傳世玉軫分別如圖八、圖九所示）。其中最早的窩頂結構大約出現(xiàn)在宋代。由于筆者對于古玉鑒定并無認識，本文亦旨在探討窩頂結構的科學依據(jù)，因此只能期待有識之士對傳世老琴軫的斷代問題作出全面可信的研究結論。

圖八

圖九

窩頂結構的的科學依據(jù)

窩頂結構有何科學意義？窩頂結構為什么能夠改善打滑退轉的狀況？要解決這個問題，首先需要對琴軫頂端接觸面的受力狀況進行力學分析。

琴軫頂端與軫池板的接觸面，是一個以琴軫頂端直徑為D的外圓，以琴軫內孔直徑為d的內圓形成的的環(huán)狀面（圖十）。當琴軫被安裝在古琴上并拉緊琴弦時，琴弦拉力F1通過絨扣傳遞到琴軫上。與此同時，琴軫在這個環(huán)狀接觸面上受到來自軫池板的壓力F。琴弦拉力F1與軫池板對琴軫的壓力F大小相等、方向相反，是一對作用力與反作用力。

絨扣由雙股線繩絞合而成，可以想象成一段扭力彈簧。絨扣被絞得越緊，其回彈的反向扭矩也就越大。絨扣回彈的反向扭矩作用在琴軫上，將使得琴軫向反向扭轉，也就是發(fā)生退轉。當反向扭矩在比較小的范圍內時，被環(huán)狀接觸面上分布的正壓力F產生的靜摩擦力矩M所平衡，琴軫處于靜止狀態(tài)。當不斷絞緊絨扣，反向扭矩增大到足以克服琴軫端面與軫池板之間的靜摩擦力矩時，這一平衡被打破，琴軫就會突然發(fā)生打滑退轉。

圖十

在琴軫頂端被加工出窩頂結構以后，我們可以直觀地看到，在外圓直徑D不變的前提下，內圓直徑由d增加為d1，接觸面成為一個較窄的圓環(huán)，其接觸面積也大大減小。可能有人會認為，面積小了，壓強大了，摩擦力也就大了，這其實是一種誤解。實際上，在琴軫突然發(fā)生打滑退轉這個臨界點上，最大靜摩擦力幾乎等于滑動摩擦力f=μF，只與正壓力F和摩擦系數(shù)μ有關，與接觸面積無關。

環(huán)狀接觸面上所受的正壓力F為分布力，在接觸面表面產生平行于接觸面的切向摩擦力f。接觸面上各點處的切向摩擦力f對軸心產生的力矩，就是我們要求的摩擦力矩。因此，雖然總的摩擦力與接觸面積無關，但由此產生的摩擦力矩卻與接觸面的形狀有關。由于環(huán)狀接觸面各部分所受摩擦力的力臂不同，因此總的摩擦力矩應該是各部分摩擦力矩的積分。根據(jù)相關計算和推導（略），這一力矩的計算公式為：

其中F為正壓力，μ為摩擦系數(shù)，R和r分別為圓環(huán)的外圓半徑和內圓半徑（圖十一）。實際上，我們可以把這個公式理解為，將環(huán)狀接觸面上分布的摩擦力f=μF，集中作用到一個等效的環(huán)線上所產生的摩擦力矩M=f×Re。Re就是這個等效環(huán)線的半徑：

我們可以把它叫做等效半徑。

圖十一

在本例中，由于正壓力和摩擦系數(shù)（與接觸面的粗糙度相關）都不變，因此只需要比較兩種結構中環(huán)狀接觸面的等效半徑即可。

作為示例，我們假定平頂結構環(huán)狀接觸面的外圓半徑R=7mm，內圓半徑r1=2mm。代入（2）式求得等效半徑Re1=4.963mm。而窩頂結構環(huán)狀接觸面的外圓半徑不變，內圓半徑增加到r2=6m m。代入（2）式求得等效半徑Re2=6.513mm。可見窩頂結構所獲得的摩擦力矩比平頂結構提高了（6.513-4.963）/4.963=31.23%，也就是提高了三成以上。

結語

傳統(tǒng)琴軫的窩頂結構是如何產生的？是主動地改進，還是無意中發(fā)現(xiàn)，再經過長期比較和選擇后得以成形？這個問題似乎很難考證，但也不是沒有一點線索。《史記·樂書》中有這樣的記載：“古軫用竹，言鳳非梧桐不棲，非竹實不食。”這一說法雖然沒有出土實證，但在出土瑟中曾經發(fā)現(xiàn)將弦的一端“系在特制小竹棍上”[5]的做法，或者可以間接證明。實際上，竹子中空，只要打一側孔即可方便地作為絞繩式琴軫來使用。如果用竹做軫，因其中孔較大，其接觸面恰為較窄的圓環(huán)，暗合窩頂結構的原理。古代先人們很可能通過竹軫與平頂琴軫使用體驗的比較，悟出其中的道理，進而將平頂結構改造成了窩頂結構。

綜上可見，傳統(tǒng)琴軫的窩頂結構已經有相當長的發(fā)展歷史。它只需通過簡單加工，即可獲得切實而顯著的力學效益，能夠提高摩擦力矩達30%以上，改善了絞繩式琴軫打滑退轉的問題，是我國古代工匠和琴人在長期實踐中共同創(chuàng)造出的獨具巧思的樂器改良案例。