錐齒輪傳動機構的優化設計

□ 王遠東 □ 高 潔

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1 優化設計背景

錐齒輪的作用是傳遞兩相交軸之間的運動和動力。與圓柱齒輪類似,錐齒輪有較多分類。按輪齒的外觀,可以將錐齒輪分為直齒錐齒輪、斜齒錐齒輪、螺旋錐齒輪[1]。錐齒輪傳動的優點在于傳動效率高、傳動比穩定、工作可靠、結構緊湊、節省空間、耐磨損、壽命長、噪聲低。目前,錐齒輪傳動在眾多領域得到了廣泛應用。當前錐齒輪傳動優化設計的主要目標是在滿足承載能力的條件下,選擇合適的齒輪副參數,使傳動裝置的體積和最小,以及結構緊湊[2-4]。

目前,國內學者對錐齒輪傳動的試驗和研究較為深入。葉小芬等[5]將減速器尺寸和強度設計納入約束條件,建立數學模型,利用Matlab優化工具箱進行結構優化設計,求解傳動機構體積和最小目標函數。孫宏潔等[6]以齒輪模數和傳動比等作為設計參數變量,將齒輪齒面和齒根強度要求與機構間不發生干涉作為約束條件,將齒輪副的傳動總中心距最小作為目標函數,利用Matlab工具箱進行求解。李旭貞[7]將齒輪的參數整合為優化數學模型,結合粒子群優化算法進行目標函數的求解。以上研究均使齒輪副獲得了較小的體積,但同時也存在一些弊端,不能滿足齒輪傳動的多目標優化要求,如齒輪副嚙合的重合度不足、強度不高,導致齒輪傳動的平穩性下降。

筆者建立錐齒輪傳動機構優化數學模型,采用遺傳算法和Matlab工具箱對目標函數進行求解。遺傳算法模擬達爾文進化論的自然選擇和遺傳學機理,是一種不斷選擇優良個體的隨機化搜索算法,直到在全局中搜索出最優個體。遺傳算法以對較為復雜多峰函數的適用性和對目標函數的全局優化性等特征在工程優化設計中得到廣泛應用,特別是在機構結構參數優化設計、生產調度、模式識別、神經網絡、自適應控制等領域,遺傳算法降低了多目標函數求解的難度,取得了顯著效果[8-9]。

2 優化設計數學模型

在錐齒輪傳動機構的優化設計中,以錐齒輪副的體積之和最小作為設計目標。

如圖1所示,軸交角為90°的錐齒輪副主要結構尺寸包括分度圓直徑d、錐齒輪副錐距R、錐齒輪寬度b、分度圓錐角δ等。

錐齒輪副的體積和V為:

(1)

b=ψRR

(2)

(3)

式中:z1、z2分別為大小錐齒輪的齒數;m為錐齒輪副的大端模數;R為錐齒輪副的錐距;b為錐齒輪的寬度;ψR為齒寬因數;δ1、δ2分別為大小錐齒輪的分度圓錐角。

由式(1)可知,影響錐齒輪副體積和的參數有小錐齒輪的齒數z1、錐齒輪副的大端模數m、齒寬因數ψR,因此可將設計變量x設為:

x=(z1,m,ΨR)T=(x1,x2,x3)T

(4)

齒面接觸強度條件為:

(5)

式中:[σH]為錐齒輪副的齒面許用接觸應力;K為錐齒輪副的工作情況因數;T1為主動小錐齒輪傳遞的轉矩;u為大小錐齒輪的齒數比,u=z2/z1。

齒根彎曲強度條件為

(6)

式中:[σF]為錐齒輪副的齒根許用彎曲應力;YFS為復合齒形因數。

對于復合齒形因數,可以根據當量齒數通過圖2查取。

圖2 復合齒形因數與當量齒數關系

設計變量的邊界條件為:

17cosδ1≤z1≤z1max

m≥2

0.25≤ψR≤0.30

由以上數學模型可見,錐齒輪副體積和最小的優化設計可歸納為三維非線性約束優化問題。

3 優化設計實例

已知一汽車發動機傳動機構是軸交角為90°的閉式錐齒輪傳動機構,其中小錐齒輪傳遞的功率P1為9.2 kW,轉速n1為970 r/min,傳動比i為3,工作情況因數K為1.5。小錐齒輪的材料為40Cr,經過調質處理,布氏硬度(HB)為250。大錐齒輪的材料為35SiMn,調質處理,布氏硬度(HB)為230。要求以錐齒輪副體積和最小為目標進行優化設計。

對上述參數進行整理計算,可求得主動小錐齒輪工作時的轉矩T1為:

T1=9 550P1/n1=90.6 N·m

根據錐齒輪傳動機構的材料和金屬工藝學規范,從文獻[10]中查出齒面許用接觸應力[σH]為640 MPa,齒根許用彎曲應力[σF]為250 MPa。

懲罰函數法是一種間接求解約束優化問題的方法,將約束優化問題轉換為一系列無約束問題來求解,不破壞原有的約束條件[11]。筆者采用懲罰函數法中的外點法,將約束非線性規劃問題構造為適應度函數val(x):

val(x)=f(x)+p(x)

(7)

式中:f(x)為數學模型的目標函數;p(x)為懲罰項。

對于極小化問題,有:

p(x)=0

或

p(x)=-r1[g1(x)]2-r2[g2(x)]2<0

(8)

式中:r1、r2為懲罰項因子,是隨著迭代次數增加而遞增的正數數列。

將式(8)中的三維不等式約束非線性目標問題轉換為外點懲罰函數形式適應度函數問題,即將優化設計數學模型中式(5)、式(6)兩個性能約束構造為適應度函數中的懲罰項,再將數學模型設計變量的邊界條件作為遺傳算法中的變量上下限矩陣。

本例中錐齒輪副是軟齒面閉式齒輪傳動,結合錐齒輪傳動運算法則,取錐齒輪齒面接觸強度條件的懲罰項因子r1為1,錐齒輪齒根彎曲強度條件的懲罰項因子r2為0.5。

由于主動小錐齒輪的齒數較少,在大多情況下復合齒形因數較大,因此應將復合齒形因數作為錐齒輪齒根彎曲強度條件計算的依據。本例中,復合齒形因數可取4.80。

運用Matlab優化工具箱fmincon函數,在主程序中輸入分度圓直徑、齒數比、錐距、齒寬、目標函數等數據。.m格式文件部分關鍵程序如下:

Function{sol,y}=GA_yzcl(sol,options)//定義適應度函數文件

z1=x(1);

m=x(2);

psi_R=x(3);

x(1)=sol(1);

x(2)=sol(2);

x(3)=sol(3);//設計變量

u=3;

d1=x(1)*x(2)/2;

d2=u*d1;

R=d1*sqrt(1+u^2);

b=x(3)*R;

sdelta1=x(1)*x(2)/(2*R);

cdelta1=sqrt(1-sdelta1^2);

sdelta2=u*sdelta1;

cdelta2=sqrt(1-sdelta2^2);

V1=cdelta1*(d1^2+d1*((R-b)*d1/R)+((R-b)*d1/R)^2)

V2=cdelta2*(d2^2+d2*((R-b)*d2/R)+((R-b)*d2/R)^2)

F=pi/3*b*(V1+V2);//目標函數

K=1.5;

P1=9.2;

n1=970;

T1=9550*P1/n1;

sigma_HP=640;

sigma_FP=250;

YFS=4.80;

g1=sigma_HP-sqrt((195.1/x(1)*x(2))^3*K*T1/u)

g2=sigma_FP-(3.2/x(2))^3*K*T1*YFS/(x(1)^2*sqrt(u^2+1);

r1=1;

r2=0.5;

p=r1*g1^2+r2*g2^2;

If(g1>=0&(g2>=0)

y=-f;

Else

y=-(f+p);//將不等式約束作為懲罰項加入適應度函數

End

主程序運行結果見表1。

表1 錐齒輪傳動機構優化設計最優解

將最優解代入約束條件進行檢驗,g1(x)=-0.081 MPa≈0,g2(x)=247.591 1 MPa>0,可見最優解位于齒面接觸強度條件的邊界上,齒根彎曲強度則有很大富裕。

將最優解中的小齒輪齒數圓整為整數值19,再代入約束條件進行檢驗,g1(x0)=13.603 1 MPa>0，g2(x0)=247.659 5 MPa>0，可見最優湊整解位于可行域內。

4 結束語

筆者分析了錐齒輪傳動機構的特征,對其建立數學模型,得到優化設計變量、目標函數,以及性能約束條件和邊界約束條件,進行優化設計。采用懲罰函數法構造適應度函數,將優化設計數學模型中的齒面接觸強度條件和齒根彎曲強度條件構造為適應度函數中的懲罰項。編制遺傳算法.m格式文件,運用Matlab優化工具箱fmincon函數進行求解,得到最優解。程序運行結束后,還需要對設計變量進行圓整和調整。

通過優化實例驗證了采用遺傳算法進行錐齒輪傳動機構優化設計的可行性和適用性,為錐齒輪傳動機構的多目標優化設計提供了參考。