動手“做”數(shù)學(xué)，活動“啟”思維
——以《圓柱和圓錐》動手“做”活動為例

江蘇常熟市昆承小學(xué) 丁月芳

六年級下冊《圓柱和圓錐》這一單元知識間的關(guān)聯(lián)較復(fù)雜，計(jì)算也較煩瑣，學(xué)生有一定的畏學(xué)情緒。 如何才能使這部分內(nèi)容變得讓學(xué)生觸手可及，讓學(xué)生體驗(yàn)探索的樂趣？ 教師可以指導(dǎo)學(xué)生通過動手“做”，使其經(jīng)歷真實(shí)的探究過程、合作與問題解決，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

一、資源整合——基于動手“做”活動的素材重組

新一輪課改倡導(dǎo)自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式。我們的教學(xué)不能簡單地告訴學(xué)生結(jié)果，也不是那種淺層次的探究， 而是要通過對單元的整體設(shè)計(jì)，鼓勵學(xué)生參與到深度學(xué)習(xí)之中，在探究中，積累學(xué)習(xí)方法和經(jīng)驗(yàn)，更重要的是讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的不斷積累，學(xué)習(xí)如何把握共性，分辨差異。 下面以3道習(xí)題為例：

（1）教材第22頁第6題：

下面的圓錐與哪些圓柱的體積相等？ （單位：cm）

（2）教材第25頁第5題：

一塊圓柱形橡皮泥， 底面積是15平方厘米，高是6厘米。

①把它捏成底面積是15平方厘米的圓錐形，高是多少厘米？

②把它捏成高是6厘米的圓錐形， 底面積是多少平方厘米？

（3）教材第23頁思考題：

一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱底面積相等，體積的比是1∶6。 如果圓錐的高是4.2厘米， 圓柱的高是多少厘米？如果圓柱的高是4.2厘米，圓錐的高是多少厘米？

立足單元整體設(shè)計(jì)來看，以上3道習(xí)題，落腳點(diǎn)都是圍繞“圓柱和圓錐體積、底面積、高之間的關(guān)系”來解決問題。 從學(xué)生平時(shí)的練習(xí)中經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對解決“等底等高的圓柱和圓錐的體積關(guān)系”的相關(guān)知識掌握得較好，但是對“底面積相等，體積相等時(shí)圓柱和圓錐高的關(guān)系”“高相等，體積相等時(shí)圓柱和圓錐底面積的關(guān)系”則處于一個(gè)思維“空白”狀態(tài)，所以遇到上述習(xí)題，常常無從下手。 究其原因，這主要是學(xué)生的空間觀念尤其是直觀想象能力的缺失。

為此，筆者對教材資源進(jìn)行了深度整合，開發(fā)了動手“做”數(shù)學(xué)活動課。 旨在為學(xué)生提供動手實(shí)踐的機(jī)會， 彌補(bǔ)教材中的留白， 向?qū)W生展示了動手“做”數(shù)學(xué)活動中蘊(yùn)含的豐富內(nèi)涵。

二、探索實(shí)踐——探尋動手“做”活動的實(shí)踐路徑

學(xué)習(xí)需要學(xué)習(xí)思考問題，真正的學(xué)習(xí)一定是從問題開始的， 是從問題以及努力解決問題開始的。“如何做一個(gè)和已知圓錐體積相等的圓柱？ ”便是數(shù)學(xué)活動的核心問題。 真正意義上的“數(shù)學(xué)活動”是引導(dǎo)學(xué)生“做”數(shù)學(xué)，讓學(xué)生以有實(shí)際意義的工具為中介的“做”來獲得知識。通過動手“做”，讓學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)的探究過程，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的課堂落地。

1.立足認(rèn)知起點(diǎn)，積累活動經(jīng)驗(yàn)

活動一：做一個(gè)和已知圓錐體積相等的圓柱。

（2）在下面的方格紙上畫出這個(gè)無蓋圓柱體的展開圖。

（3）用一張長方形紙，測量出實(shí)際所需的數(shù)據(jù)，動手制作出這個(gè)無蓋圓柱體紙盒。 （側(cè)面可預(yù)留粘貼處）

【思考】在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生能做到“做”前有儲備，“做”中有思考，“做”后有發(fā)現(xiàn)。 經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過程， 不僅能幫助學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)知識的深入理解，同時(shí)也能讓他們真切地體會到數(shù)學(xué)知識形成和發(fā)展的內(nèi)在邏輯。 通過之前的圓錐體積研究單，學(xué)生對圓錐體積是和它等底等高的圓柱體積的已經(jīng)有了較深刻的體驗(yàn)。 受其啟發(fā)，學(xué)生很容易想到只要畫出高度的圓柱， 就和已知圓錐體積相等。要完成這個(gè)數(shù)學(xué)活動， 還需要掌握相關(guān)的操作技能。 比如，如何測量圓錐的底面半徑和高，如何畫圓柱的展開圖，如何根據(jù)展開圖制作圓柱等。 學(xué)生在畫一畫、剪一剪、拼一拼的活動中，調(diào)動原有的知識儲備，積極參與到活動中。 學(xué)生經(jīng)歷這樣的活動過程，才能逐步積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力。

2.巧設(shè)認(rèn)知沖突，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

活動二：找一找和已知圓錐體積相等的圓柱。

（1）出示1個(gè)圓錐和2個(gè)自制圓柱紙盒。 （如下圖所示）

師：根據(jù)剛才的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，你能快速找到和這個(gè)圓錐體積相等的圓柱嗎？

生齊：①號圓柱。

師：當(dāng)①號圓柱和圓錐具有怎樣的關(guān)系時(shí)，它們的體積才相等呢？

師：讓我們把目光轉(zhuǎn)向②號圓柱，仔細(xì)觀察，你有沒有什么大膽的想法呢？

生：我覺得也不排除體積相等的可能。

師：那如何才能驗(yàn)證它們的體積是否相等呢？

師：底面積呢？

（底面積3倍不能測量驗(yàn)證，只能推理）

師：怎樣驗(yàn)證？

生：裝沙。

得出結(jié)論：高相等，圓錐的底面積是圓柱的3倍（圓柱的底面積是圓錐的時(shí)，體積也相等。

師：看來，要做一個(gè)和已知圓錐體積相等的圓柱，有2種方法：一種是確保底面積不變，圓柱的高取圓錐高的；另一種是確保高不變，圓柱的底面積取圓錐底面積的，它們的體積相等。

呈現(xiàn)教材第22頁第6題。

……

【思考】 呂傳漢教授曾就落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提出了“三教”，即教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)，并強(qiáng)調(diào)“教思考”在發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的重要地位。 當(dāng)呈現(xiàn)2個(gè)圓柱時(shí)，學(xué)生受思維定式的影響不約而同選擇了①號圓柱。 此刻，教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生觀察②號圓柱。啟發(fā)學(xué)生大膽猜想，“②號圓柱會不會和圓錐的體積也相等呢？ ”“如果相等，它們之間又存在怎樣的關(guān)系呢？ ”一石激起千層浪，帶著這樣的疑問，學(xué)生的思維一下子被激活了，進(jìn)一步探究的欲望逐步深入。 學(xué)生會通過思維關(guān)聯(lián)，尋找②號圓柱與圓錐的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)高相等，再通過邏輯推理，聯(lián)想“當(dāng)高相等時(shí)，如果圓柱的底面積是圓錐的，那么它們的體積就相等”。 帶著這樣的猜想開始探究、驗(yàn)證，最終建立了“高相等，圓柱底面積是圓錐的，體積相等”的模型。 從而明確：要做一個(gè)和已知圓錐體積相等的圓柱，可以有2種方法：一種是底面積不變，圓柱的高是圓錐高的；另一種是高不變，圓柱的底面積是圓錐底面積的，它們的體積相等。 教師通過巧妙設(shè)置認(rèn)知沖突，在已有探究經(jīng)驗(yàn)和成果的基礎(chǔ)上搭建思維的臺階，不斷激活學(xué)生的思維發(fā)展空間，從而促進(jìn)學(xué)生更為積極主動地思考。

3.拓寬想象空間，培養(yǎng)創(chuàng)新意識

活動三：想象一個(gè)和圓柱體積相等的圓錐。

師：當(dāng)然，我們也可以做一個(gè)和圓柱體積相等的圓錐。同學(xué)們，下面讓我們一起來做一個(gè)活動：看一下你們手里的圓柱學(xué)具，把它想象成可以捏的橡皮泥。也可以把你們想象的過程動手畫一畫。

師：如果要把它捏成一個(gè)底面積不變的圓錐形，高會發(fā)生怎樣的變化？

生：圓錐的高是圓柱的3倍。

師：如果要把它捏成一個(gè)高不變的圓錐形，底面積又會發(fā)生怎樣的變化？

生：圓錐底面積是圓柱的3倍。

根據(jù)想象依次呈現(xiàn)如下表：

images/BZ_89_1293_639_1451_896.png圓柱和圓錐 特征 關(guān)系等底等高 體積比1∶3等底等體積 高比1∶3等高等體積 底面積比1∶3

引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)：有什么共同的本質(zhì)特征？ （1∶3）

師：真是一個(gè)了不起的發(fā)現(xiàn)！當(dāng)“體積、底面積、高”這三者之間有2個(gè)等量時(shí)，另一個(gè)量就是1∶3的關(guān)系。

呈現(xiàn)教材第25頁第5題。

繼續(xù)想象：如果圓錐和圓柱的體積比為1∶6，你還能想象出它們之間的關(guān)系嗎？

呈現(xiàn)教材第23頁思考題。

……

【思考】在教學(xué)活動中，依據(jù)內(nèi)容特點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生積極主動地開展想象，不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，而且能啟迪學(xué)生的思維和智慧，使學(xué)生萌生創(chuàng)新欲望，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。

教材第25頁第5題， 如果以靜態(tài)的文本方式呈現(xiàn)，學(xué)生的錯(cuò)誤率通常很高，如果用“捏橡皮泥”的活動來幫助學(xué)生體會“等積變形”的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生操作起來也有一定的難度。 結(jié)合學(xué)生剛剛經(jīng)歷的“和圓錐體積相等的圓柱”的活動，引導(dǎo)學(xué)生想象：底面不變，高在生長，高不變，底面在擴(kuò)大……想象是一種脫離了動手操作的更高層次的思維活動，通過想象活動來幫助學(xué)生建立“等底等體積”“等高等體積”的模型。 這樣的想象活動，既有助于發(fā)展學(xué)生的空間觀念，也有助于提升他們的思維品質(zhì)。 通過想象，可以使原本隱蔽的關(guān)系明朗化，也可以使原本復(fù)雜的關(guān)系簡單化，從而使靜態(tài)的文本轉(zhuǎn)化成動態(tài)的、豐滿的過程。 從這個(gè)角度來說，想象也是一種十分重要的教學(xué)活動策略。

“我聽說了，就忘了；我看見了，就領(lǐng)會了；我做過了，就理解了。 ”這句名言突出了“做”的重要性，深刻地揭示了“探求的意義在于經(jīng)歷”。 在課程實(shí)施中，作為教師，必須具有整體結(jié)構(gòu)化的課程視野，大膽實(shí)踐開發(fā)課程的意識，這樣才能有效引領(lǐng)學(xué)生深度建構(gòu)知識。

上述活動課例的教學(xué)， 從一個(gè)核心問題出發(fā)，對問題的加工、拓展，通過三個(gè)不同層次的活動，把教材中零散的知識點(diǎn)串成線、織成網(wǎng)，形成了一個(gè)系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)教師與文本、教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生的深度互動，為促進(jìn)“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的落地指明了方向。