“抽屜原理”中的數學思想方法

李承梅

摘?要：“抽屜原理”是人教版六年級下冊數學廣角的教學內容。“抽屜原理”看似簡單，但是要讓小學生建構自己的認知和理解確實不容易，必須經歷探究的過程，在過程中理解抽屜原理，滲透枚舉、假設、模型、類推思想，從而能用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。

關鍵詞：數學;思想;方法

數學教材體系有兩條基本線索：一條是數學知識，這是明線，另一條是數學思想方法，這是暗線。從本節課數學知識的角度看，明線就是初步了解抽屜原理，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題，暗線就是在完成明線過程中滲透數學思想方法。

一、分析和研究教材，建立知識點聯系，歸納和揭示其蘊含在數學知識中的數學思想方法

抽屜原理是六年級下冊數學廣角的教學內容，數學廣角的內容屬于“綜合與實踐”內容，設置的目的在于培養學生綜合運用有關的知識與方法解決實際問題能力，包括解決問題、實踐活動，都是為了提高學生解決現實問題的能力，領悟數學思想、積累數學活動經驗。如何在教學上發揮學生主體作用突破這些教學難點并滲透數學思想方法呢？經過深入研究教材和學情，我制定了如下教學目標：1.通過猜測、驗證、觀察、分析等數學活動，初步了解“抽屜原理”;2.會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題;3.建立數學模型，發現規律，滲透枚舉、假設、模型、類推思想。

為完成教學任務和突破抽屜原理研究的是物體數最多的一個抽屜里最少會有幾個物體的教學難點，我對教材和教學過程處理如下：首先對教材進行了處理，在上此課之前加入一節課“最不利原則”的學習，有了最不利原則的學習，再上抽屜原理課，使學生明白要想使放得最多的抽屜的蘋果放得盡可能少，就要做“最不利”的打算，學生就會自覺使用學過的“枚舉法”或“假設法”想到每個抽屜都要平均放蘋果，就會使得放得最多的抽屜的蘋果放得盡可能少的教學難點。二是通過二次的自主實踐，讓學生在活動、師生對話、類推的體驗過程中逐步明白用“假設法”解決抽屜問題的優越性，使學生體會到優化思想。

二、學生動手操作、畫一畫、算一算，理解抽屜原理，感受枚舉法、假設的思想

教學例題1：把4支鉛筆放進3個文具盒，不管怎么放總有一個文具盒至少放進幾支鉛筆？

師：把4支鉛筆放進3個文具盒，可以怎樣放？ 有幾種不同的放法？（在教學中先讓學生動手操作、畫圖，找出解決問題的方法。）

生1：可以用實物擺一擺。

生2：可以畫一畫圖。

生3：可以說理。

①學生自主探究

師：現在請同學們自己選擇其中的一種方法進行解答。

②反饋。

師選擇典型的畫法放在黑板上。

生1：畫圖

生2：

生3：列算式

4÷3=1（支）……1（支）?? 1+1=2（支）

隨后教師提問“這兩種畫圖的方法均采用了什么方法？”“枚舉法要注意什么？”無疑都是對枚舉法的再一次的回顧和滲透。

反饋枚舉法

師：看黑板上的第一個學生和第二個學生所用的方法有什么共同點？

生：均用了枚舉法。

師：枚舉法要注意什么？

生：有序、不重復、不遺漏。

師：說得好！看這兩位同學枚舉的符合這三個條件嗎？

師根據學生的回答，適時歸納枚舉法的簡便記法;

生1的方法可以記作：（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）

生2的方法可以記作：（4，0，0）（3，1，0）（2，0，2）（2，1，1）

你們發現有什么不同？

根據學生的發現歸納總結，（2，0，2）（2，2，0）（0，2，2）放在不同的盒子里，但表示的是至少有一個盒子里保證有2支鉛筆

再次引導學生得出總有一個盒子里放進了4支鉛筆、3支鉛筆、2支鉛筆。

師小結：3個盒子里裝得最多的4支鉛筆，還會更多嗎？ 裝的最少的是2支，還有裝得更少的情況嗎？

生：沒有。

師：請你們試著用一句話概括一下。

生：總有一個文具盒里至少裝了2支鉛筆（師板書）。

反饋假設法

師：（指著黑板上的算式）誰能用語言解釋這個算式？

生：如果每個文具盒先各放1支鉛筆，放掉3支鉛筆，剩下的1支無論放在哪個文具盒里，總有一個文具盒放了2支鉛筆。（課件演示）

師：為什么先要平均分呢？

生1：根據最不利原則，這樣只分一次就可以確定放得最多的盒子里至少放了幾支鉛筆。（根據這種回答，師評價說“只分一次”說得好，這樣就不用將所有的情況枚舉出來了。）

生2：平均分，可以使放得最多的文具盒里的鉛筆數盡可能少。

師小結：是呀，剛才我們研究的是所有方法中放得最多的那個文具盒里至少放了幾支筆，怎樣使得這個放得最多的文具盒里的筆盡可能少，那就得平均分。

③探究n+1支鉛筆放進n個文具盒的問題

師：那我們再往下想，5支鉛筆放在4個文具盒里，你感覺會有什么結論？6支鉛筆放進5個文具盒里，你們又有什么發現？并說一說為什么？如果一直讓你往下說，你會說嗎？……說幾個之后，你們發現了什么？學生自然就總結出規律，形成抽屜原理1“把n+1支鉛筆放進n個文具盒，總有一個文具盒里至少放了2支鉛筆”。

學生有了第一個例子研究的基礎，和原有的代數初步知識作為基礎，就會通過類推得出一般性的結論，在類推的過程中，有意識地引導學生用假設法進行解釋，這樣的教學過程，從數學思想方法滲透層面和知識層面上對學生進行了提升，有助于發展學生的類推能力，形成比較抽象的數學思維。

三、引導學生獨立思考，能用假設法進行解釋，通過對比，逐步學會運用一般的數學方法解決問題

教學例2：把5本書放進2個抽屜，不管怎么放，總有一個抽屜里至少有幾本書？

①獨立思考，討論匯報

生1：5÷2=2本……1本?1+1=2本?把5本書放進2個抽屜，如果先平均分每個抽屜里先放2本，還剩1本，這本書不管放到哪個抽屜里，總有一個抽屜里至少有3本書。

生2：用枚舉法也可以得出總有一個抽屜里至少放了3本書。

師調查此時有多少同學用了枚舉法，有多少同學用了假設法。

師：你們為什么都不用枚舉法，而用假設法了？

生：這樣簡單，只要平均分就可以得出放得最多的抽屜里最少放幾本書。

②歸納總結，拓展延伸

把7本書，9本書，25本書，33本書，99本書放進2個抽屜，不管怎么放，總有一個抽屜里至少有幾本書？

學生獨立思考、討論后匯報：

板書如下。

7÷2=3本……1本?3本+1本=4本

9÷2=4本……1本?4本+1本=5本

25÷2=8本……1本?8本+1本=9本

33÷2=16本……1本?16本+1本=17本

99÷2=16本……1本?44本+1本=45本

師：觀察板書你能發現什么？

生1：只要用 “商+ 1”就可以得到。

生2：是“商+余數”。

師：到底誰的結論對呢？我們進一步嘗試。

師變換抽屜數在小組里進行研究、討論。

經過討論得出是“商+ 1”

……

在例2教學過程中，教師給學生獨立思考的空間，不斷討論匯報，大部分學生使用假設法，只有兩三個學生使用枚舉法，教師巧妙質疑學生“你們為什么都用假設法，而不用枚舉法了？”學生均能用最不利原則說出理由，對假設法的體會更為深刻，自然對算理的理解很到位。

總之，在教學中如果對數學思想方法的滲透比較到位，學生在解決新問題時，自然會使用數學思想方法，同時在自我反思的過程中，會選擇簡單的方法思考。這就是我們數學教學所要追求的——掌握解決問題的方法，學會思考問題。

參考文獻

[1]?王文娟.如何在小學數學教學中滲透數學思想方法[J].學周刊，2018（27）：64-65.

[2]?牛獻禮.“抽屜原理”教學實錄與思考[J].小學數學，2010（14）：109-111.