導數問題中構造輔助函數的方法技巧探討

吳德滿

[摘? 要] 構造輔助函數是求解導數問題的常用策略，而構造函數的方法技巧較為眾多，需要結合具體問題合理選用. 解題時所構函數的形式不同，獲得的解題效果也不相同，文章對導數問題加以剖析，結合實例簡要探討作差構造、拆分構造、換元構造和特征構造四種構造技巧，并提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 導數;構造;函數;作差法;拆分法;換元法;特征法

問題綜述

在近幾年的高考中，出現了眾多求證不等式或求參數范圍的問題，問題求解的核心工具是導數知識，因此可將其歸結為導數問題. 該類問題一般結構獨特、綜合性強，突破求解時需要采用一定的方法技巧，其中構造函數是解導數問題最為有效的方法，既可以降低思維難度，求解思路又更為清晰. 但實際教學中，學生大多沒有完全掌握函數構造的技巧，經驗匱乏，所構函數不合理，因此十分有必要深入剖析導數問題中函數構造的方法，總結常用的構造技巧.

技巧探討

導數題目本身的形式較為多變，復雜度也不一致，因此構造函數時需要根據題目特點. 總體來說，函數構造時最常用的方法有作差法、拆分法、換元法、特征法，下面結合實例加以探討.

技巧一：作差構造

作差構造法，顧名思義，通過對數式進行作差變換來構建函數的一種方法. 具體作差構造時又分為多種情形，包括直接作差、變形作差，其核心內容均是通過作差來完成函數構造.

例1：已知f（x）=■，試證明：對于任意的正數a，均存在正數x，使得不等式f（x）-1

解析：題干給出了函數f（x）的解析式，求證不等式成立首先需要將解析式代入，將不等式化為■-1ln（a+1）時，G′（x）>0. G（x）min=G（ln（a+1））=a-（a+1）ln（a+1）. 分析可知a-（a+1）ln（a+1）<0，因此可知存在正數x=ln（a+1），使得不等式f（x）-1

點撥：上述在證明時采用了變形作差的函數構造技巧，即首先對函數f（x）-1

技巧二：拆分構造

對于某些不等式證明或求值問題，若直接構造時較難分析，也可以采用拆分構造的策略. 首先對不等式進行合理拆解，將其分為多個部分，然后結合構造思想來構建函數，完成求解. 從構造方式來看也稱之為局部構造.

例2：已知函數f（x）的解析式為f（x）=aexlnx+■，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為y=e（x-1）+2，試回答下列問題：

（1）試求a和b的值;

（2）證明：f（x）>1.

解析：（1）根據條件可知切線的斜率為e，同時圖像經過點（1，f（1）），顯然可以根據上述兩個條件來建立方程.原函數的導函數為f′（x）=aexlnx+■+■（x>0），則有f（1）=2，f′（1）=e，可解得a=1，b=2.

（2）根據（1）問可知f（x）=exlnx+■（x>0）. 證明f（x）>1，等價于xlnx>xe-x-■，由不等號左側構造函數g（x）=xlnx，則g′（x）=1+lnx，分析可知當x∈0，■時，g′（x）<0;x∈■，+∞時，g′（x）>0，所以函數g（x）在0，■上單調遞減，在■，+∞上單調遞增，從而在（0，+∞）上的最小值為g■=-■.

由不等號右側構造函數h（x）=xe-x-■，則h′（x）=e-x（1-x），分析可知函數h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，從而在（0，+∞）上的最大值為h（1）=-■.

綜上可知，當x>0時，g（x）> h（x），從而有f（x）>1，證畢.

點撥：上述第（2）問是證明不等式成立，顯然需要利用導數知識來完成，但若直接由不等式來構建函數，求導后函數會過于復雜，不易分析. 因此可以采用移項拆分的策略，將其拆分為兩部分，分別構造函數，顯然兩個分函數的性質更容易獲得.

技巧三：換元構造

換元同樣也可以作為構造函數的一種策略，即利用新元來替換原函數的部分或全部，使之變量化多為少，從而達到減元的目的. 通過換元構造可以使函數的特征結構更為清晰，該方法多用于處理多元函數問題中.

例3：試證明當n>m>0時，有lnn-lnm>■-■.

解析：上述題干給定了變量關系，求證不等式成立，可以先對不等式簡單變形，可得ln■-■+■>0，顯然只需要該不等式成立即可.由于其中含有變量m和n，可以采用換元構造的策略. 令■=x，則x>1，構造函數g（x）=lnx-■+x（x>1），其導函數為g′（x）=■+■+1，由于x>1，所以g′（x）>0，故g（x）在（1，+∞）上單調遞增. 已知n>m>0，則■>1，有g■>g（1）=0，從而可證ln■-■+■>0，則原不等式成立.

點撥：上述所證不等式的最顯著特征是含有兩個變量，因此需要分換元、構造兩步進行，即常見的換元構造策略，將問題轉化為常見的一元函數求導問題，顯然可以降低思維. 需要注意的是在完成換元后，需要根據條件來確定新元的取值范圍，確保新函數的取值有意義.

技巧四：特征構造

特征法構造函數指的是根據問題式子的特征結構來構造函數的方式，可以是條件特征，也可以是結論特征. 解析時需要準確把握數式的相似結構，然后結合類比思想完成函數構造，常用于常規不等式、數列不等式問題證明，采用特征構造的方式往往可以使抽象問題直觀化.

例4：已知函數f（x）的解析式為f（x）=lnx+■，m∈R，如果對于任意的b>a>0，不等式■<1始終成立，試求m的取值范圍.

解析：本題目求證不等式成立，不等式的構建與函數f（x）有關，問題等價于求證f（b）-b0），若要使不等式成立，則需使導函數h′（x）=■-■-1≤0在（0，+∞）上恒成立，從而可得m≥ -x2+x=-x-■2+■（x>0），所以有m≥■（當x=■時，等號成立）. 所以m的取值范圍為■，+∞.

點撥：上述是關于求解參數取值范圍的導數問題，題干給出了條件函數及相關不等式，求解時通過對不等式的等價轉化獲得了后續函數構造的參照條件，采用的是根據條件特征構造的技巧.特征構造的方法技巧使用十分普遍，解題時需要善于觀察不等式的特征結構，總結數式規律.

反思教學

構造函數是求解導數問題的常用策略，上述探討的四種構造函數技巧有著極強的應用性，從函數的構造過程來看，無非就是兩步：第一步對不等式進行轉化變形，第二步根據轉化后的情形構造函數，利用函數性質來加以探討. 但采用函數構造解析問題時不能盲目套用公式，需要學生靈活變通，下面提出幾點提升學生構造能力的建議.

1. 關注數式規律，提升學生觀察力

從上述四道例題來看，問題中所涉不等式的結構、內容較為多樣，包含了分數、指數、對數等內容，構造形式也大不相同. 在實際求解時需要學生深入分析不等式的結構特征，從中提煉數形規律，確定合理的構造策略，因此對學生的觀察力有著較高的要求. 在實際教學中，不能局限于指導解題過程，還需要注重提升學生的觀察力，可以通過設問來引導學生分析不等式所涉內容、形式特點、含參個數、成立條件等，強化學生對不等式的認知.

2. 積累變形方式，重視知識積累

利用函數構造法求解導數問題中，最為關鍵的一步是對不等式的等價變形，這是后續函數構造的基礎. 由于不等式的多樣性，變形處理的方法也大不相同，這就要求學生必須掌握一定的變形處理手段，包括移項、參數分離、去分母等. 考慮到變形手段與代數知識有著關聯性，在教學中需要立足數式性質，強化基礎知識，積累變形經驗，提升運算能力. 不等式變形的過程是恒等變形，因此教學中需要使學生理解數式變形的本質，深刻認識等價轉化的思想內容.

3. 總結函數模型，增強聯想思維

利用函數性質化解是問題解決的重要一步，在該步中需要利用導函數的性質分析問題，化簡求解. 實際上構造函數就是構造函數模型，利用模型的性質來解決問題，因此教學中十分有必要引導學生總結基本的函數模型，如指數函數、對數函數、二次函數等，并掌握復合函數的構建技巧及求導方法. 同時注重培養學生的聯想思維，使學生掌握根據數式特征構建函數的方法. 思維的培養是一個長期的過程，教學中要結合具體的考題，采用引導設問的方式促進學生思考，逐步提升學生思維的靈活性和發散性.

總之，掌握導數問題中常見的函數構造技巧是提升解題效率的關鍵，除了需要使學生理解不同構造技巧的內涵，還需要掌握相應的構造步驟. 函數構造的過程實則是創造的過程，需要聯想思考，因此需要提升學生的思維品質，促進學生綜合素養的發展.