研究函數零點問題四法

馬俊強 戴松沅

[摘 要]函數的零點問題，歷來是高考的命題熱點.探討函數零點問題的求解方法，以幫助學生突破難點，提高學生的解題能力.

[關鍵詞]函數;零點;策略

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2020）26-0020-02

在函數與方程有關的問題中，函數零點是最值得研究的問題之一.依據函數零點理論，可以研究方程的近似解，也可以探究函數圖像的變化趨勢.函數的零點問題一直是高考的一個重要考點.那么涉及這個考點的主要問題和方法有哪些？本文舉例說明.

一、解方程法

函數與方程可謂一對孿生兄弟，它們之間是可以相互轉化的.所謂解方程法，就是求方程[f（x）=0]的實數根，這些根就是函數[f（x）]的零點.因此，函數的零點是一個數，而不是一個點.

評注：函數零點的存在性定理是解決函數零點問題的主要根據.這個定理不僅能判斷函數零點的存在，且也能發現函數零點落在哪個區間.運用函數零點存在性定理時，應特別注意兩點：一是當函數值在某區間上恒正或恒負時，無論這個函數是否單調，這個函數在這個區間上都不會存在零點;二是函數零點存在性定理只能斷定函數零點是存在的，卻無法斷定在這個區間上零點有多少個.

三、數形結合法

函數[y=f（x）]的零點，從數形結合角度看，即它的圖像與[x]軸交點的橫坐標.當這個函數圖像無法作出，但可以變成兩個函數的差的形式時，那么原函數的零點就是這兩個函數的圖像的交點的橫坐標.于是，我們可以先畫出這兩個函數的圖像，再觀察它們的交點情況，最后對零點個數做出判斷，此法就是判斷函數零點個數最常用的數形結合法.

綜上可知，正確答案為B.

評注：利用單調性分析法解決函數零點問題的基本思想實際上就是數形結合的思想，其要點是“在指定區間上的單調函數至多有一個零點.如果有零點，那么函數就有唯一的一個零點”，這是解決函數在指定的區間上零點唯一性問題的主要思想方法.

函數的零點問題，歷來是高考的命題熱點，主要題型有判斷函數的零點個數，或已知含有參數的函數的零點或零點個數求參數的值或參數的取值范圍.以上四種方法是求解這類問題的基本方法.

（責任編輯 黃桂堅）