三次函數(shù)中一類參數(shù)范圍問題的求解策略

徐衛(wèi)東

[摘 要]導(dǎo)數(shù)作為高考的熱門考點，考查力度在近幾年的高考中有增無減，而通過求導(dǎo)研究三次函數(shù)的性質(zhì)又是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，且一直活躍在全國各地的高考卷中.本類問題往往能很好地體現(xiàn)出函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.

[關(guān)鍵詞]三次函數(shù);參數(shù)范圍;求解策略

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標(biāo)識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2020）26-0017-03

通過研究各地模擬卷及高考試卷發(fā)現(xiàn)，三次函數(shù)求導(dǎo)主要有三大題型：一是已知函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間，求相關(guān)參數(shù)范圍;二是已知方程有三個不等實根，求相關(guān)參數(shù)范圍;三是已知曲線存在三條切線，求相關(guān)參數(shù)范圍.本文從三個方面給出示例與說明.

題型一、已知函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間，求相關(guān)參數(shù)范圍

說明：“已知方程有三個不等實根，求相關(guān)參數(shù)范圍”是三類問題中最重要的.實際上，例2所說的兩個函數(shù)圖像有三個交點，即等價于對應(yīng)方程有三個根，而方程有幾個根的問題可以由函數(shù)的極大值和極小值的正負來確定，即“幾個交點幾個根，正負極值定乾坤”.由于交點問題和求根問題的等價性，我們也可以用函數(shù)圖像交點的個數(shù)來確定方程的根的個數(shù). 對于例2，學(xué)生可以通過分離參數(shù)完成，也可以通過極值與0比較得到，變式1顯然分離參數(shù)不易，可以通過十字相乘求出極值點，但此處的計算極易發(fā)生錯誤，不少學(xué)生容易漏掉[a≠±1]，變式2的第2問實際上又回歸到例2，但放在此處匠心獨運，為第3問證明不充分性的解決起到雪中送炭的作用，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生敏銳的洞察力，讓學(xué)生學(xué)會前后聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的直觀性，讓學(xué)生找到解決問題的“第六感”.

題型三、已知曲線存在三條切線，求相關(guān)參數(shù)范圍

說明：已知曲線存在三條切線，求相關(guān)參數(shù)范圍問題最終均轉(zhuǎn)化為題型二解決，首先要讓學(xué)生明白切點在何處，若未知則需要假設(shè)出切點.例3為2008年全國卷的題目，此題第二問不少學(xué)生乍一看感覺形式簡潔，無從下手，實際操作后發(fā)現(xiàn)是一只“紙老虎”，因為[a3-a=f（a）]，這時頗有“化險為夷”之快感，變式1的第一問要求學(xué)生挖掘題目隱含信息，課堂需要學(xué)生畫出導(dǎo)函數(shù)的圖像幫助理解，進一步由導(dǎo)函數(shù)圖像理解原函數(shù)圖像，而第二問最終轉(zhuǎn)化為題型二的例2完成，變式2的本質(zhì)是要求學(xué)生證明經(jīng)過的該點即為曲線的切點.

三次函數(shù)的性質(zhì)還有很多，本文著重從“三”入手，重點解決求導(dǎo)在三次函數(shù)存在三個單調(diào)區(qū)間、三個不等實根、三條切線這三方面的應(yīng)用，當(dāng)然，在課堂教學(xué)中可以把此類研究手段進一步遷移到研究超越函數(shù)中，可以讓思維拓展到更深處，正所謂“三三不盡，六六無窮”.本節(jié)課包含了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等主要的數(shù)學(xué)思想;學(xué)生通過學(xué)習(xí)，掌握的主要技能有信息處理的敏感性、信息處理的周密性、信息處理的前瞻性;學(xué)生體會到三重學(xué)習(xí)境界：山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村;忽如一夜春風(fēng)來，千樹萬樹梨花開;紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行.

（責(zé)任編輯 陳 ? 昕）