分段函數主題教學設計

陳烈

[摘 要]在高考中，以分段函數為載體考查函數的性質、函數的圖像、不等式、導數等綜合問題是一大熱點問題.文章將高考分段函數常考題型歸納為四個模型，并針對四個模型提出分段函數主題教學設計策略.

[關鍵詞]分段函數;主題教學;設計

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2020）26-0009-02

一、分段函數的考查要點

在高考中，分段函數的考查是熱點問題，這與分段函數的特征有關.分段函數，就是對于自變量[x]的不同的取值范圍有著不同的解析式的函數.它是一個函數，而不是幾個函數;分段函數的定義域是各段函數定義域的并集，值域也是各段函數值域的并集.

冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、抽象函數是最基本的、應用最廣泛的函數，也是進一步研究函數綜合問題的基礎.通過這幾個函數的學習，學生初步掌握了函數基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.由于分段函數自身的特點，可以將冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、抽象函數等內容融合在一個題目中綜合考查.以分段函數為載體，提高學生從函數角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，促進學生數學學科核心素養的不斷提升.文獻[1]從常見的分段函數進行分類，文獻[2]從畫圖像的角度闡述如何突破重點和難點.本文對分段函數問題進行分析梳理，總結出四個模型，并提出分段函數的主題教學設計.

二、分段函數的題型分析

1.直接求解模型

評析：本題屬于零點模型問題，主要處理方法是令[g（x）=0]后，分解為兩個不同類型的函數，其中一個函數為已知的分段函數，另一個函數含參數，畫出兩個函數的圖像，結合題意即可求解.

三、分段函數的主題教學設計

1.夯實基礎知識

在認知起點中，學生首先需要基本掌握冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、抽象函數等函數的性質和圖像;其次能夠“徒手”比較精準地畫出常見函數的圖像，對于圖像的對稱、翻折、平移、伸縮等知識需要熟練掌握，特別注意指數函數和對數函數翻折后的“漸近線”的變化問題.

對于常見的數形結合、函數與方程、分類討論、轉化與化歸等重要數學思想要有基本的認識，并且能夠初步掌握.

2.由易到難，逐漸遞進

在進行分段函數主題教學設計時，由易到難，逐漸遞進.設計思路可從分段函數的定義域已知，設計函數表達式變式，設計問題的變式;也可以函數的表達式已知，定義域變式，問題變式.先熟悉掌握基本題型，再逐漸進行變式練習，設計難度落在學生的“最近發展區”內，螺旋式提升學生的核心素養.

對章節的整合也如此，分段函數中的函數表達式在冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、抽象函數逐步遞進.

3.學生深度參與，教師點撥

分段函數是一個很好的教學素材.教師積極引導學生獨立思考、自主探究、合作交流，學生深度參與到教學活動中.教學活動過程是教師引導的過程，教師引導得當，效果事半功倍，學習更是學生尋找分段函數的規律、探索分段函數奧秘的過程，核心素養需要學生積極主動去建構才能完成.

對于一些作圖精確度要求比較高的題目，教師可以通過計算機輔助教學，比如借助幾何畫板、玲瓏畫板、MATLAB等作圖工具來畫出精確的圖像.

4.提煉模型，形成素養

將典型題目進行分析梳理，整理出幾個模型.放手讓學生說，教師少說一點，說錯也好，說得不夠全面也好，都不要緊，大膽地表達自己的觀點，每個學生都說一些，學生在自己說的和別人說的過程中也會感悟出一些規律.并且鼓勵學生用自己的眼光發現分段函數各個模型的特征，歸納出模型的解決方法，印象特別深刻.

教師在學生表達的基礎上加以修飾，加以總結，提煉出分段函數的常見模型，總結出每個模型的結構特征和解決方法，提煉數學模型.

在此基礎上，教師可以收集各省市模擬題中關于分段函數的精彩題目，并且按照上述模型進行分類，分發給學生做主題訓練，開闊學生視野，鞏固基礎知識，訓練基本數學思想，發展數學能力，提升核心素養.

[ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ]

[1] ?潘敬貞，張科，唐明超，等.分段函數微專題復習的策略[J].河北理科教學研究，2019（4）：28-32.

[2] ?王曉文.畫好函數圖像，突破教學難點[J].中學數學，2020（10）：10-13.

（責任編輯 陳 ? 昕）