多邊形內(nèi)角和與外角和拓展探究

張振鋒

[摘 要]通過探究五角星中角之間的關(guān)系、剪切圖形后角之間的關(guān)系、凹多邊形中角之間的關(guān)系，可以提高學(xué)生合作探究的能力，學(xué)生能夠在新情境問題中，把陌生的圖形轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形，通過代數(shù)式的不斷轉(zhuǎn)化發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論.

[關(guān)鍵詞]多邊形;內(nèi)角;外角;探究

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2020）26-0007-02

由若干條線段把它們的頭尾順次連接，形成封閉的平面圖形就是多邊形.這些線段就形成了多邊形的邊，這些線段的夾角形成了多邊形的內(nèi)角.把多邊形的各邊順次延長，延長線與相鄰邊的夾角形成了多邊形的一組外角.從m邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)引對角線，能把多邊形分成數(shù)量最少的三角形，這些三角形的個數(shù)為m-2.根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，所以m邊形的內(nèi)角和為（m-2）×180°.由于多邊形的內(nèi)角與相鄰的外角互為補(bǔ)角，所以每個多邊形的一組外角和為固定值，即360°.四邊形、五邊形等多邊形具有不穩(wěn)定性，也就是說同樣邊長的多邊形可以具有多種形狀.

一、探究五角星中角之間的關(guān)系

顧名思義，五角星是指有五個尖角的星形圖案.任何一個正五角星都由周圍的五個三角形和中心的一個正五邊形組成.因為五邊形的內(nèi)角和為540°，所以正五邊形每個內(nèi)角均為108°，因為周圍三角形的一個內(nèi)角就是正五邊形的一個外角，所以周圍三角形的一個內(nèi)角是72°，又由于它們都是等腰三角形，所以尖角的角度均為36°.

[例1]（1）如圖1所示的圖形是一個五角星圖案，那么這個圖案五個尖角的度數(shù)和是多少？（2）如圖2所示的圖形也是一個五角星圖案，如果五個尖角的度數(shù)彼此相等，那么∠1的度數(shù)是多少？

分析：（1）設(shè)CE與BD、AD的交點(diǎn)分別為M、N，可分別在△MBE和△NAC中，由三角形的外角性質(zhì)求得∠DMN=∠B+∠E、∠DNM=∠A+∠C，進(jìn)而在△DMN中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出所求的結(jié)論.

如圖3，設(shè)BD、AD與CE的交點(diǎn)為M、N;△MBE和△NAC中，由三角形的外角性質(zhì)知：∠DMN=∠B+∠E，∠DNM=∠A+∠C;△DMN中，∠DMN+∠DNM+∠D=180°，故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°;

（2）根據(jù)多邊形的外角和等于360°解答.

如圖4所示，因為∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，所以每個角的度數(shù)為360°除以5等于72°，因為∠1與∠2互補(bǔ)，所以∠1的度數(shù)為108°.

評注：五角星五個尖角的和為180°，從這里可以看出，它的五個尖角可以集中在同一個角三角形中，集中的依據(jù)是三角形外角的性質(zhì).

二、探究剪切圖形后角之間的關(guān)系

將三角形的一個角剪切后，得到一個三角形和一個四邊形，這個四邊形的兩個內(nèi)角是原三角形的兩個內(nèi)角，另兩個內(nèi)角是新三角形的兩個外角，這兩個外角的和等于180°與原三角形剪去角的和，這兩個外角平分線的夾角等于90°與原三角形剪去角一半的和.如果將四邊形再剪切一刀，可得兩個四邊形，其中一個四邊形的內(nèi)角平分線的夾角剛好是另一個四邊形兩個外角的夾角.

[例2]如圖5，在一張三角形紙片上，剪去△ABC，得到四邊形BCHG，∠1與∠2分別為△ABC的兩個外角，

（1）請你試著說明：∠1+∠2=180°+∠A;

（2）如圖6，如果沿著EF再剪一刀，∠3與∠4分別為△AEF的兩個外角，那么∠1+∠2和∠3+∠4的數(shù)量關(guān)系為? ? ? ? ?;

（3）如圖7，EP，F(xiàn)P分別平分外角∠FEG、∠EFH，求∠EPF與∠A的數(shù)量關(guān)系;

（4）如圖8，在四邊形BCFE中，EP、FP分別平分外角∠FEG、∠EFH，請寫出∠EPF、∠1、∠2這三個角的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

分析：（1）根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠1=180°-∠ABC，∠2=180°-∠ACB，求得∠1+∠2=360°-（∠ABC +∠ACB），根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到結(jié)論.即∵∠1與∠2分別為△ABC的兩個外角，∴∠1=180°-∠ABC，∠2=180°-∠ACB，∴∠1+∠2=360°-（∠ABC +∠ACB），∵三角形的內(nèi)角和為180°，∴∠ABC +∠ACB=180°-∠A，∴∠1+∠2=360°-（180°-∠A）=180°+∠A;

（2）由（1）得，∠1+∠2=180°+∠A，同理，∠3+∠4=180°-∠A，∴∠1+∠2=∠3+∠4，故答案為：∠1+∠2=∠3+∠4;

（3）由（1）得，∠GEF+∠HFE=180°-∠A，根據(jù)角平分線的定義得到結(jié)論.即

由（1）得，∠GEF+∠HFE=180°-∠A，∵EP，F(xiàn)P分別平分外角∠FEG、∠EFH，∴∠PEF=[12]∠GEF，∠PFE= [12]∠HFE，∴∠PEF+∠PFE= [12]（∠GEF+∠HFE）= [12]（180°-∠A），∴∠P=180°- [12]（∠PEF+∠PFE）=180°- [12]（180°+∠A）=90°+ [12]∠A;

（4）由（3）得到∠A+2∠P=180°，由（1）得到∠1+∠2=180°+∠A，于是得到結(jié)論：∠1+∠2+2∠P=360°.由（3）可知，∠A+2∠P=180°，由（1）可知，∠1+∠2=180°+∠A，∴（∠1+∠2-180°）+2∠P=180°，∴∠1+∠2+2∠P=360°.

評注：以上分析不難發(fā)現(xiàn)，一個四邊形相鄰兩條內(nèi)角平分線的夾角等于其他兩個內(nèi)角和的一半;一個四邊形兩條外角平分線的夾角等于180°減去其他兩個內(nèi)角和的一半.

三、探究凹多邊形中角之間的關(guān)系

將一個多邊形的任何一邊向兩個方向延長，可以得到一條直線，如果其余各邊不是全部在直線的同側(cè)，這樣的多邊形就是凹多邊形.凹多邊形一定有一個內(nèi)角大于180°，一定有兩個頂點(diǎn)連線后不在多邊形的內(nèi)部，生活中的五角星、四角星、六角星等星形圖案都屬于凹多邊形.凹多邊形的內(nèi)角和與凸多邊形的內(nèi)角和一樣，均為（m-2）×180°，但凹多邊形的外角和不是360°，而是（m+2）×180°.

[例3]發(fā)現(xiàn)：如圖9，在有一個“凹角∠A1A2A3”的n邊形A1A2A3A4…An中（n為大于3的整數(shù)），∠A1A2A3=∠A1+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+…+∠An-（n-4）×180°.

驗證：（1）如圖10，在有一個“凹角∠ABC”的四邊形ABCD中，求證：∠ABC=∠A+∠C+∠D.

（2）如圖11，在有一個“凹角∠ABC”的六邊形ABCDEF中，求證：∠ABC=∠A+∠C+∠D+∠E+∠F-360°.

延伸：（3）如圖12，在有兩個連續(xù)“凹角A1 A2 A3和∠A2 A3 A4”的四邊形A1 A2 A3 A4……An中（n為大于4的整數(shù)），∠A1 A2 A3+∠A2 A3 A4=∠A1+∠A4+∠A5+∠A6…+∠An-（n- ）×180°.

分析：（1）如圖10，延長AB交CD于E，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到結(jié)論.延長AB交CD于E，則∠ABC=∠BEC+∠C，∠BEC=∠A+∠D，∴∠ABC=∠A+∠C+∠D;

（2）如圖11，延長AB交CD于G，則∠ABC=∠BGC+∠C，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)得到結(jié)論.延長AB交CD于G，則∠ABC=∠BGC+∠C，∵∠BGC=180°-∠BGD，∠BGD=3×180°-（∠A+∠D+∠E+∠F），∴∠ABC=∠A+∠C+∠D+∠E+∠F-360°;

（3）如圖12，延長A2A3交A5A4于C，延長A3A2交A1An于B，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠A1A2A3+∠A2A3A4=∠A1+∠2+∠A4+∠4，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和得到∠1+∠3=（n-2-2）×180°-（∠A5+∠A6+…+∠An）.即如圖12，延長A2A3交A5A4于C，延長A3A2交A1An于B，則∠A1A2A3+∠A2A3A4=∠A1+∠2+∠A4+∠4，∵∠1+∠3=（n-2-2）×180°-（∠A5+∠A6+…+∠An），而∠2+∠4=360°-（∠1+∠3）=360°-[（n-2-2）×180°-（∠A5+∠A6+…+∠An）]，∴∠A1A2A3+∠A2A3A4=∠A1+∠A4+∠A5+∠A6+…+∠An-（n-6）×180°.故答案為6.

評注：對于解決凹多邊形問題，要通過作輔助線分割為三角形和凸多邊形，然后利用三角形的內(nèi)角和與外角性質(zhì)，凸多邊形的內(nèi)角和與外角和加以解決.本題探究了凹多邊形有一個凹角、有兩個凹角時，凹角和與其他內(nèi)角和之間的關(guān)系，是對多邊形知識的有益拓展.

其實，對于多邊形的內(nèi)角和與外角和，它的考查方式還包括已知邊數(shù)求內(nèi)角和、已知內(nèi)角和求邊數(shù)、已知內(nèi)角和與外角和的關(guān)系求邊數(shù)、求對角線等，這些問題的解決需要應(yīng)用內(nèi)角和與外角和公式建立方程求解.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）