基于快速終端滑模面的兩旋翼飛行器有限時間姿態(tài)控制

沈林武,陳 強,陶玫玲,何熊熊

(1.浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院，杭州 3100232.浙江機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電氣電子技術(shù)系，杭州 310053)

0 引言

無人機由于其多功能性、機動性和實用性，引起了國內(nèi)外學(xué)者的極大重視。旋翼飛行器作為無人機的一種常見類型，具有體積小，結(jié)構(gòu)簡單和機動性強等優(yōu)點[1]，通常用于某些危險的環(huán)境中，包括搜索、營救、區(qū)域制圖和監(jiān)視等[2-3]。當(dāng)前，旋翼飛行器的姿態(tài)控制逐步成為無人機控制研究的熱點問題[4-8]。為保證四旋翼傾轉(zhuǎn)飛行器的姿態(tài)穩(wěn)定，文獻[9]設(shè)計比例積分微分(proportion-integration-differentiation，PID)控制器，融合自適應(yīng)控制算法，實現(xiàn)PID參數(shù)自整定，經(jīng)仿真實驗表明該控制器的穩(wěn)態(tài)性能和跟蹤性能良好。文獻[10]利用前饋控制和線性化技術(shù)，設(shè)計四旋翼無人機控制算法，并基于線性二次調(diào)節(jié)器設(shè)計姿態(tài)控制器，通過反饋調(diào)節(jié)矩陣增益，改善控制器性能，根據(jù)時延、上升時間、超調(diào)等參數(shù)驗證了其優(yōu)越性能。文獻[11]針對三旋翼飛行器尾部舵機發(fā)生堵塞故障的情況下，基于反步法和終端滑模控制技術(shù)，提出一種魯棒容錯控制方法，經(jīng)李雅普諾夫方法證明姿態(tài)跟蹤誤差漸近收斂，且經(jīng)實驗驗證對姿態(tài)控制有較好的效果。文獻[12]利用反步法技術(shù)和常規(guī)滑模設(shè)計控制器，常規(guī)滑模控制器保證姿態(tài)角快速收斂的能力，反步法技術(shù)應(yīng)用于位置跟蹤，最終獲得四旋翼飛行器位姿的快速收斂，模擬仿真實驗驗證所設(shè)計控制器的有效性。然而，上述控制方法僅能實現(xiàn)姿態(tài)的漸近收斂。

與上述方法相比，有限時間控制能實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)變量的有限時間收斂。文獻[13]針對剛性航天器帶有控制輸入飽和的輸出反饋姿態(tài)控制，基于四元數(shù)方法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，結(jié)合有限時間觀測器，設(shè)計有限時間控制律，保證系統(tǒng)姿態(tài)有限時間收斂于平衡點。文獻[14]利用分段函數(shù)設(shè)計一種終端滑模控制策略，結(jié)合自適應(yīng)技術(shù)，保證剛性飛行器的有限時間姿態(tài)收斂，且更魯棒、收斂速度更快、控制精度更高等性能，仿真結(jié)果表明了該控制策略的有效性。文獻[15]針對存在轉(zhuǎn)動慣量有界、未知外部干擾的情況，基于四元數(shù)建立剛性飛行器動力學(xué)模型，設(shè)計有限時間全階滑模連續(xù)控制器，保證系統(tǒng)軌跡有限時間收斂于平衡點，所提控制器有效性經(jīng)仿真驗證。

基于上述討論，本文針對兩旋翼飛行器提出一種基于快速終端滑模面的有限時間自適應(yīng)姿態(tài)控制方法，保證兩旋翼飛行器姿態(tài)角跟蹤誤差的有限時間收斂。通過設(shè)計分段函數(shù)避免控制律和滑模變量求導(dǎo)產(chǎn)生的奇異值問題，同時設(shè)計用于估計系統(tǒng)模型不確定上界和未知外部干擾的自適應(yīng)更新律，并無需提前了解系統(tǒng)的先驗知識。最后，在兩旋翼飛行器平臺上驗證所提控制方法的有效性。

1 系統(tǒng)描述及預(yù)備知識

圖1為兩旋翼飛行器測試臺示意圖，由機械和電子兩部分組成。機械部分包含底板、支架、平衡桿和軸承對組件；電子部分由陀螺儀模塊、控制單元、電子調(diào)速器和無刷直流電機組件構(gòu)成，其中兩個無刷直流電機的槳葉分別為正槳葉和反槳葉，以抵消兩個電機不同旋轉(zhuǎn)方向的轉(zhuǎn)矩。

圖1 兩旋翼飛行器測試臺示意圖

兩旋翼飛行器平衡桿可認為是剛體，根據(jù)杠桿原理，其槳葉產(chǎn)生的升力矩Mb為：

Mb=(F1-F2)L=ku，

(1)

式中,F1、F2為槳葉產(chǎn)生的升力，L是電機軸中心線到轉(zhuǎn)軸中心線的垂直距離，k為正系數(shù)，u∈R為電機電子調(diào)速器控制輸入。

基于剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程分析，兩旋翼飛行器動力學(xué)模型的表達式為：

(2)

(3)

假設(shè)1：Mf和Md有界，即f(x1,x2)和d(t,x1,x2)有界，存在常數(shù)F>0和D>0，保證|f(x1,x2)|≤F和|d(t,x1,x2)|≤D成立。

收斂時間上界Tr滿足

(4)

2 快速終端滑模控制器

2.1 滑模面設(shè)計

設(shè)計快速終端滑模面為：

(5)

根據(jù)兩旋翼飛行器控制系統(tǒng)(3)可得：

(6)

對式(5)求導(dǎo)，得：

(7)

滑模變量s一旦到達滑模面s=0之后， 式(4)表示為：

(8)

選取李雅普諾夫函數(shù):

(9)

對其求導(dǎo)，得:

(10)

(11)

2.2 控制律設(shè)計

設(shè)計有限時間自適應(yīng)控制律u為：

(12)

設(shè)計自適應(yīng)更新律為：

(13)

(14)

式中,p1>0，p2>0，c1>0，c2>0。

3 定性證明

定理1：針對兩旋翼飛行器系統(tǒng)式(3)，設(shè)計快速終端滑模面式(5)，控制律式(12)，自適應(yīng)更新律式(13)和式(14)，則：

證明：(1)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)：

(15)

對式(15)求導(dǎo)，可得：

(16)

把控制律式(12)代入式(16)，得：

(17)

把自適應(yīng)更新律式(13)和式(14)代入式(17)，得：

(18)

根據(jù)楊不等式，以下不等式成立,

(19)

(20)

把式(19)和式(20)代入式(18)，得：

-η0V2+υ1

(21)

(2)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)：

(22)

對式(22)求導(dǎo)，可得：

(23)

把控制律式(12)代入式(23)，得：

(24)

根據(jù)引理1，滑模變量s在趨近模態(tài)時有限時間收斂到平衡點附近鄰域Δs：

(25)

且收斂時間上界Tr為：

(26)

把式(25)代入滑模面式(5)，得:

(27)

式中,|ε|≤Δs。

由式(27)可知，姿態(tài)角誤差e收斂至以下鄰域：

(28)

(29)

T≤Tr+Ts=

(30)

注：根據(jù)式(30)，系統(tǒng)狀態(tài)變量的收斂時間與系統(tǒng)初始值條件相關(guān)，如滑模面初始值s(0)、姿態(tài)角誤差初始值e(0)，且其它可設(shè)計參數(shù)也能影響系統(tǒng)收斂時間上界，如k1、k2、a2、γ2、η1、η2等。如減少γ2、a2，可縮短系統(tǒng)狀態(tài)變量的收斂時間，但是過小的γ2、a2，等同于控制器獲得過高的增益，導(dǎo)致系統(tǒng)的大幅度顫振、甚至不穩(wěn)定。為了獲得系統(tǒng)收斂時間與穩(wěn)定性之間的平衡，選擇合理的控制參數(shù)也是設(shè)計工作中的一項重要工作，證畢。

4 實驗結(jié)果與分析

4.1 實驗平臺描述

兩旋翼飛行器控制系統(tǒng)如圖2所示，該系統(tǒng)由飛行器測試臺、上位機控制臺以及輔助直流電源組成。

圖2 兩旋翼飛行器控制系統(tǒng)

兩旋翼飛行器測試臺有兩臺無刷直流電機(X2212，中山市朗宇模型有限公司)；兩臺電子調(diào)速器(SKYWALKER 40A，深圳市好盈科技有限公司)，電子調(diào)速器用于控制無刷直流電機的轉(zhuǎn)速；一個陀螺儀模塊(WT931，深圳維特智能科技有限公司)，用于獲取兩旋翼飛行器測試臺平衡桿的姿態(tài)角和角速度；一個用于執(zhí)行控制方法的控制單元(STM32F103C8T6，意法半導(dǎo)體有限公司)和必要的機械支撐鋁合金結(jié)構(gòu)件。兩旋翼飛行器電子線路硬件連接圖如圖3所示。

圖3 兩旋翼飛行器電子線路硬件連接圖

上位機控制臺為一臺工作站(W520，聯(lián)想控股股份有限公司)。其中通用串行總線(universal serial bus，USB)接口1用于連接飛行器測試臺數(shù)據(jù)接口(FT2232HL，F(xiàn)TDI Chip)，實現(xiàn)實驗數(shù)據(jù)的采集、控制飛行器測試臺的啟停；USB2接口通過調(diào)試器(STlinkV2，意法半導(dǎo)體有限公司),與飛行器測試臺的控制單元連接,實現(xiàn)控制程序的編譯和加載。上位機控制臺通過中間文件獲取實驗數(shù)據(jù)，實現(xiàn)實驗數(shù)據(jù)的顯示、分析和處理。

在實驗中，僅使用兩旋翼飛行器測試臺平衡桿的俯仰軸，陀螺儀模塊提供相應(yīng)的姿態(tài)角和角速度信息，其中姿態(tài)角的動態(tài)精度可達0.1°，姿態(tài)角速度測量范圍±1 000°/s，采樣周期為6 ms，滿足后續(xù)的閉環(huán)信號控制要求。

兩旋翼飛行器測試臺的指標(biāo)參數(shù)：

1)平衡桿實驗角度范圍為±60°。

2)陀螺儀模塊與控制單元通信速率為921 600 bps，本測試臺僅使用俯仰姿態(tài)角和角速度。

3)控制算法輸出控制量u為±1 500，待機電門控制量u0為3 000，控制單元最終輸出控制量u1最大輸出值為10 000，為實驗安全考慮，限幅值為4 500，則控制量u1范圍為500～ 4 500。

4)USB1轉(zhuǎn)通用異步收發(fā)傳輸器(univer sal asynchronous receiver/transmitter，UART)接口1的通信速率為921 600 bps。

5)下載調(diào)試器STlinkV2的單總線接口(single wire，SW)運行頻率為1.8 MHz。

4.2 實驗方法對比

為驗證所提控制方法的可行性和優(yōu)越性，提出兩種控制方法在兩旋翼飛行器測試臺進行實驗比較。方法一為本文所設(shè)計的基于快速終端滑模面的有限時間姿態(tài)控制方法，方法二為文獻[18]的線性滑模控制方法。為保證公平比較，兩種控制方法相應(yīng)的系統(tǒng)控制參數(shù)設(shè)置一致。

方法一的滑模面為式(5)，控制律為式(12)，自適應(yīng)更新律為式(13)～(14)。

方法二的滑模面為：

(31)

式中，k1>0。

¨控制律設(shè)計為：

(32)

方法一的滑模面siga2e項的冪次系數(shù)0

(33)

針對兩旋翼飛行器系統(tǒng)式，根據(jù)控制律式和式，當(dāng)滑模變量s=0時，符號函數(shù)sgn(·)不連續(xù)性，會導(dǎo)致系統(tǒng)顫震。在實驗過程中，為了消除符號函數(shù)不連續(xù)性，可以采用分段函數(shù)替換，如文獻[19]采用以下函數(shù)：

(34)

式中,ζ>0，ζ是一個充分小有界正數(shù)，代表邊界層的厚度。也可采用雙曲正切函數(shù)替換符號函數(shù)：

(35)

式中,ρ>0，參數(shù)ρ越大，雙曲正切函數(shù)越接近于符號函數(shù)，則控制律式和式獲得控制性能越好。在實驗過程中，如果能夠選擇合適的參數(shù)ρ或ζ，則可保持系統(tǒng)顫震和跟蹤性能之間的平衡。

4.3 實驗結(jié)果分析

1)矩形波跟蹤實驗：

表1 矩形波跟蹤實驗的控制參數(shù)

圖4 幅值25°矩形波的跟蹤軌跡

圖5 幅值25°矩形波時的

圖6為方法一在不同系統(tǒng)姿態(tài)角初始狀態(tài)的收斂情況，其中實驗的參考軌跡為xd=0°，系統(tǒng)姿態(tài)角x1初始值x1(0)分別為-50°～-5°區(qū)間之間的6個初始值，其它控制參數(shù)和實驗條件同上述實驗。從圖6明顯地看出，姿態(tài)角x1(0)初始值絕對值越大，系統(tǒng)狀態(tài)變量收斂時間越長，實驗結(jié)果與理論分析保持一致，即收斂時間與系統(tǒng)初始值有關(guān)。

圖6 參考軌跡xd=0的跟蹤軌跡

2)S曲線跟蹤實驗：

為了進一步驗證所提控制方法的跟蹤性能，設(shè)計S曲線作為對比實驗參考軌跡，系統(tǒng)姿態(tài)角x1初始值x1(0)為25°，姿態(tài)角速度x2初始值x2(0)為0°/s，系統(tǒng)控制參數(shù)由表2獲取，圖7是設(shè)定信號為S曲線的跟蹤軌跡。

表2 S曲線跟蹤實驗的控制參數(shù)

圖7 S曲線的跟蹤軌跡

由圖7可以看出，方法一與方法二相比，方法一對姿態(tài)角x1跟蹤具有更快收斂速度。

3)替換符號函數(shù)對系統(tǒng)控制性能影響：

為驗證所提控制方法的符號函數(shù)被替換，對系統(tǒng)控制性能的影響，設(shè)計實驗參考軌跡為xd=0°，作為方法一的設(shè)定信號，系統(tǒng)姿態(tài)角x1初始值x1(0)為-20°，系統(tǒng)控制參數(shù)由表1獲取，其它實驗條件同矩形波跟蹤實驗。

針對符號函數(shù)不連續(xù)性導(dǎo)致系統(tǒng)顫震。為消除系統(tǒng)顫震，實驗過程中采用式雙曲正切函數(shù)替換符號函數(shù)，其中ρ取3。圖8和圖9分別為未替換符號函數(shù)和雙曲正切函數(shù)替換符號函數(shù)的系統(tǒng)控制輸入u和系統(tǒng)姿態(tài)角x1的跟蹤軌跡。

圖8 比較雙曲正切函數(shù)與符號函數(shù)對系統(tǒng)性能影響的控制輸入u

圖9 比較雙曲正切函數(shù)與符號函數(shù)對系統(tǒng)性能影響的姿態(tài)角x1的跟蹤軌跡

5 結(jié)束語