基于荷載包絡圖的鐵路道床-路基結構安定性分析

莊 妍，王康宇，董曉強，張 軍，苗晨曦

（1.太原理工大學 土木工程學院，太原030006；2.東南大學 土木工程學院 混凝土及預應力混凝土結構教育部重點實驗室，南京210096；3.河海大學 土木與交通學院，南京210098；4.山西交通科學研究院集團有限公司，太原030000）

隨著我國高速鐵路建設的迅速發展，特別是近年來“一帶一路”戰略的實施和我國標準動車組“復興號”的投入運營，列車高速、平穩運行的需求對軌道及路基結構的變形提出了嚴格的控制標準。鑒于道床和路基結構的散粒體特性，及列車荷載的長期循環特性，至今尚未有可靠的道床和路基結構累積塑性變形的預測方法。如何從理論上解決高速列車荷載長期循環作用下道床和路基結構的累積塑性變形控制，同時提出科學合理高速鐵路服役性能安全評價方法是亟待開展的關鍵科學問題。

對于鐵路道床和路基結構的設計，交變塑性和增量塑性破壞狀態都是不允許出現的，純彈性狀態的設計由于不能考慮材料的塑性行為，偏于保守。因此，基于安定理論確定結構各響應階段之間的臨界荷載，對于結構的設計和分析具有非常重要的經濟和安全意義。目前的安定分析方法主要可分為兩類：一類是基于數學規劃思想的方法［1-2］，當單元數比較多或荷載空間的頂點比較多時，數學規劃問題的約束條件就會急劇增加，從而形成大規模線性或非線性規劃問題，導致維數障礙的產生，增加安定荷載求解的難度。另一類是適當簡化和改進經典安定理論的方法［3-5］，此類方法降低了結構安定分析的復雜程度，克服了維數障礙的難題，但也存在著適用性受限的問題。由于高速鐵路道床-路基等工程結構及其所承擔荷載的復雜性，僅僅依靠解析方法已無法準確揭示結構中的動力響應規律，因此必須借助于數值軟件對工程結構進行仿真模擬。將有限元與數值規劃技術相結合是目前國內外研究中常用的靜力安定數值分析方法［6］，并已在鐵路結構研究中取得了一定的成果［7-8］，但研究大多側重于輪軌間接觸應力和輪軌表面疲勞、磨損等問題，對道床和路基結構這樣的鐵路線路的重要基礎結構，其安定行為的研究仍然相對較少［9-10］，尤其在多個輪載作用下的高速鐵路道床-路基結構承載性能安全評價的安定性研究尚屬空白。

本文將靜力安定解析方法與數值模型相結合發展了一種高速鐵路道床-路基結構承載性能安全評價的安定分析方法，通過引入安定荷載包絡圖的概念，系統研究了道床摩擦系數、道床與基床表層的彈性模量比和厚度比對結構安定荷載的影響規律，為列車荷載長期作用下道床-路基結構累積塑性變形控制提供參考和借鑒。

1 靜力安定分析理論

1.1 靜力安定解析方法

1.1.1 基于Mohr-Coulomb屈服準則的安定分析

Melan安定定理也稱為靜力安定定理，可表述為：若存在一個與時間無關的自平衡殘余應力場σirj，它與給定荷載范圍內的任意外荷載所產生的彈性應力場σiej相疊加后，處處不違反屈服準則f（·），則結構是安定的，即存在：

若采用λp表示外荷載（p是單位荷載；λ是無量綱因子，又稱安定乘子），假設σyy是中主應力，則Mohr-Coulomb屈服準則可以表示為［11］：

式中：c為材料的粘聚力，φ為材料的內摩擦角。

式（2）可進一步簡化為：

其中：

同樣的，若使得式（3）成立，則必然存在N≤0，即存在：

需要注意的是根據式（5）求得的安定乘子僅為屈服準則成立的必要條件，在計算中認為式（3）的第一項為零，而實際上這種假設并不是對所有情況都成立，因此這種方法實際上并不嚴格滿足屈服條件。為了求得準確的靜力安定荷載，就需要對殘余應力場進行合理的優化調整，以滿足式（2）的要求，因此安定荷載的求解即轉化為殘余應力場的優化問題。

1.1.2 靜力安定解析方法的優化與求解

由式（3）可知，若N≤0成立，令f＝0，可以得到方程的2個根：

在循環荷載作用下，結構由于經歷了相同的應力歷史，因此，殘余應力場和荷載的移動方向（x方向）無關，同一深度處（z＝j）的殘余應力分量σrxx不隨時間和位置而發生變化，且其值必然處于下式定義的范圍內：

在給定的荷載參數情況下，可以根據式（6）計算任意深度處殘余應力場的最大的小根.如圖1所示，若在結構某一深度處，最大的小根與最小的大根相等，則結構在此處可取得安定荷載值，且這兩個根將構成可能的殘余應力場的分布范圍；若最小的大根小于最大的小根，則表明由式（5）計算的安定乘子過大，結構中不存在可能的殘余應力場，對于這種情況，就需要對殘余應力場進行優化，使其適當的減小以滿足靜力安定定理的條件。

圖1 殘余應力場范圍與安定荷載關系的示意圖Fig.1 Relationship between the possible residual stress field range with shakedown load

基于以上分析，通過如圖2所示的優化過程，可以得到循環荷載作用下單層半無限空間結構的靜力安定荷載。

2 鐵路道床-路基結構安定分析方法

2.1 高速鐵路道床-路基結構的安定分析方法

圖2 靜力安定解析方法的優化過程Fig.2 Optimization procedure for the static shakedown solution

高速鐵路道床-路基結構的工程設計，其承載性能并不僅依賴于某一結構層的物理力學參數，而是取決于整體結構的整體工作性狀，尤其是各結構層的組合或材料性質不協調時，在給定荷載作用情況下的工程結構通常會呈現出不同的承載能力和使用壽命。從安全性和經濟性的角度來講，安定荷載是設計容許的最大荷載，能使結構在保證安全性的前提下，充分利用其塑性潛力。對于多層結構，為了保證結構的安全性，需確保在安定荷載作用下各結構層均處于安全狀態，則安定荷載可取為各結構層容許荷載的最小值，即：

2.2 等效道床有效支承荷載模型

《鐵路路基設計規范》（TB 10001-2016）［12］指出，若列車輪載由5根軌枕承擔，分擔比例為0.1∶0.2∶0.4∶0.2∶0.1，則道床表面應力應以軌枕的有效支承面積作為分布面積，如圖3所示。圖中pd為動輪載，可按照式（9）計算；b為軌枕的平均寬度；e為軌枕的平均有效支承長度，一般以軌枕端部至鋼軌中軸線距離的2倍作為軌枕單側的平均有效支承長度，對于長度為2.6m的軌枕，其有效支承長度為e＝1.09m.

根據《重載鐵路設計規范》（TB 10625-2017）［13］和 《高 速 鐵 路 設 計 規 范》（TB10621-2014）［14］的相關規定，pd計算公式如下：

式中：pd為單個動輪載，kN；ps為單個靜輪載，kN；α為動力沖擊系數或速度影響系數；v為列車行駛速度，km／h；若v＝300～350km／h，則α＝0.003；若v＝200～250km／h，則α＝0.004；重載貨車的行駛速度一般為120km／h，其α值可取為0.004；（1＋αv）為沖擊系數，最大可取為1.9.

圖3 列車軸載在道床表面的分布規律Fig.3 Wheel load distribution on the surface of ballast layer

3 鐵路道床-路基結構安定荷載計算結果分析

采用2.2節提出的簡化軌道模型，施加圖4所示的均布荷載形式及相應的荷載分擔比［15］，重點研究道床和基床表層的厚度比、彈性模量比和道床摩擦角隨輪軌摩擦系數的影響規律，同時引入安定荷載包絡圖的概念，為全面評價高速鐵路道床-路基結構承載性能的安全性提供參考。

圖4 雙輪軸作用下道床表面的荷載分布規律示意圖Fig.4 Load distribution on the ballast surface under two wheel loads

3.1 安定荷載包絡圖的概念

安定荷載包絡圖是指安定荷載的豎向、水平和力矩分量之間的相互關系圖，這三個分量組合成為一個三維外凸的曲面，即為安定荷載包絡曲面。若固定其中的一個荷載分量，則另外兩個荷載分量之間所形成的外凸的關系曲線被稱為安定荷載包絡曲線，曲線的性狀和大小取決于第三個荷載分量的特性。圖5為復雜荷載條件下結構穩定包絡線圖，其中實線表示穩定包絡線，可以是極限荷載包絡線，也可以是安定荷載包絡線。明顯可知，圖中的L點為穩定狀態（靜力安全或動力安定），若沿著LA方向增大豎向荷載或沿著LB方向增大水平荷載，或者沿LC方向同時增大兩個荷載分量，都可以使結構發生破壞，但不同的加載路徑所引起的結構破壞形式各有不同：沿著LA方向加載所發生的破壞為豎向承載力破壞，沿LB方向加載所發生的破壞為滑動破壞，而沿LC方向加載所引起的為混合破壞。由此可知，對于任意荷載狀態，使得結構發生整體破壞的加載路徑有多種方式，依據結構的初始荷載狀態及加載路徑的可能變化，相應的，結構也將具有不同的破壞形式。高速鐵路結構承受著復雜的列車荷載作用，基于安定荷載包絡圖，由外荷載在荷載空間中可能的變化形式及加載路徑，確定結構在各種荷載組合情況下的最可能的破壞模式，由此可以全面評價高速鐵路結構的穩定性，并根據荷載條件提出相應的優化設計方法。

圖5 結構穩定包絡圖Fig.5 Envelope diagram for stability evaluation of foundation under complex loading pattern

3.2 內摩擦角對安定荷載的影響規律

圖6 （a）為道床內摩擦角不同情況下安定荷載豎直和水平分量的包絡圖，當荷載組合位于包絡線以內時，結構處于安定狀態。對于任意給定的道床內摩擦角，其包絡圖始終是外凸的，包絡圖中存在“最優”道床內摩擦角，使得安定荷載包絡圖處于最外圍。當小于“最優”道床內摩擦角時，隨著道床內摩擦角的增大，包絡線不斷向外擴大；而當道床內摩擦角大于“最優”道床內摩擦角時，安定荷載包絡圖反而隨著道床內摩擦角的增大而向內收縮。摩擦系數μ能夠較為明顯地降低結構靜力安定荷載，當摩擦系數μ由0.0增大到0.5時，結構的靜力安定荷載減小了61%～77%.根據荷載包絡圖，在給定的荷載條件下，可以通過調整道床結構的內摩擦角使得結構在外荷載作用下達到安定狀態。

3.3 彈性模量比對安定荷載的影響規律

圖6 不同因素對安定荷載包絡圖的影響規律Fig.6 Influence of factors on on the envelope diagrams of shakedown loads

對于結構設計而言，道床與基床的彈性模量比并非越大越好，由圖6（b）可知，當彈性模量比等于“最佳”彈性模量比時，結構具有最大的承載能力，所對應的荷載包絡線位于包絡圖的最外側，當小于該值時，隨著彈性模量比的增大，荷載包絡線不斷向外擴大；而大于該值時，由于道床和基床表層的剛度差異增大，荷載包絡線不斷向內收縮。對于某一給定的荷載組合，可根據荷載包絡圖，增大或者減小彈性模量比，使得結構恰好處于安定狀態，在盡可能保證結構安全穩定的前提下，最大程度發揮其塑性潛力，節省工程造價。

3.4 厚度比對安定荷載的影響規律

道床和基床表層的厚度比對結構安定荷載包絡圖的影響規律如圖6（c）所示，道床和基床表層的總厚度為1.4m，分析中同時改變道床和基床表層的厚度使之達到要求的厚度比。由圖可知，對道床-路基結構中安定荷載的影響存在一個臨界的道床和基床表層厚度比，當道床厚度小于該臨界值時，結構的靜力安定荷載隨著道床厚度的增大而增大；而當道床厚度大于該臨界值時，繼續增大道床厚度對結構承載力基本上沒有影響。當道床與基床表層的厚度比大于3∶7時，結構安定荷載的包絡線重合，而在小于該比值時，結構的安定荷載包絡線隨著比值的增大不斷向外擴張。由此可知，在某一荷載條件下，基于經濟性的考慮，通過調整道床和基床表層的厚度比可以大幅提高高速鐵路結構的承載力。

4 結論

1）在任意給定的摩擦系數情況下，始終存在“最佳”的道床摩擦角、道床與基床表層的厚度比和彈性模量比，使得道床-路基結構在外荷載作用下具有最優的承載性能。

2）引入安定荷載包絡圖的概念，可以給出在某一結構組合和材料參數情況下道床-路基結構所能承受的最大荷載組合，對既有高速鐵路道床-路基結構承載性能的安全性評價提供參考。

3）在某一荷載組合條件下，可以通過調整道床-路基結構的厚度比、彈性模量比和道床的內摩擦角等，使得結構在該荷載作用下恰好處于安定狀態，以達到高速鐵路道床-路基結構累積塑性變形控制的目的，且在滿足安全性和穩定性的前提下，最大程度地發揮材料的塑性潛力，節省工程造價。