粒子群尋優的增廣灰色模型及其在全國棉花產量預測中的應用

1 引言

棉花是一種重要的紡織原材料，也是一種戰略物資，從事棉花相關行業的人口有2000多萬。同其他農產品如豬肉、大豆、大蒜等產品類似，棉花產業也有一定的波動性，這種波動性既影響農民的利益，也影響消費者的利益，更影響決策者的政策制定，因此提前預測棉花的產量、種植面積等信息與多方人員關系密切，只有及時、準確地對棉花產業進行預測，制定合理正確的決策，才能降低其波動性，保護產業鏈上諸多部門和人員的利益，實現棉花產業的健康、持續發展。

在眾多預測算法中，灰色系統理論由于對統計數據少、信息不完全數據序列的擬合與建模獨具特色，已在經濟、科學等諸多領域的預測、決策及評估中得到了廣泛應用。陳啟軍等建立改進型GM(1,1)灰色預測模型，對溫州市2018—2022年農業灌溉水利用系數進行預測，結果顯示預測結果基本符合溫州市實際情況[1]。劉超等建立GM(1,1)警度預測模型，利用2009—2016年的數據進行檢驗，結果顯示模型的可靠性良好[2]。然而，GM(1,1)模型中只有兩個可調參數，這會對模型的精度產生一定的影響。提高模型精度的一種比較好的辦法是增加可調參數，本文基于GM(1,1)模型設計了6參數模型和9參數模型，然而，參數過多會給求解帶來困難，甚至無法求解。近年來出現的仿生計算方法如遺傳算法、蟻群算法及粒子群算法[3-4]在數值優化及參數尋優方面有巨大優勢，尤其是粒子群算法在數值尋優方面算法相對簡單且易于實現，因而本文采用粒子群算法求解模型中的未知參數。

本研究以2000—2019年全國棉花產量為基礎數據序列，基于GM(1,1)模型[GM(1,1)中只含有兩個變量a、b，為便于描述將其稱為“2變量ab擬合”模型]設計了“6變量擬合”模型及“9變量擬合”模型，并使用粒子群算法求解這些變量，找出最優模型，再使用最優模型預測2020年的棉花產量，以期為棉花產業的生產、交易、加工及決策提供依據。

2 基于灰色模型的我國棉花產量預測

灰色預測模型(Gray Forecast Model)需要的建模信息少，特別適合對小樣本進行建模并預測未來發展趨勢，且精度較高，是處理小樣本預測問題的一種有效算法。

研究基于2000—2019年我國棉花產量(數據來源：國家統計局網站)，各年產量如圖1所示。本文在基礎GM(1,1)模型[為與另外兩種模型相區別，稱基本GM(1,1)模型為“2變量ab擬合”]基礎上設計了“6變量擬合”模型及“9變量擬合”模型，需要先測試這3個模型中哪一個是最優的，再使用此最優的模型擬合歷史數據并預測2020年的棉花產量。

圖1 2000—2019年歷年全國棉花產量

2.1 基礎灰色模型GM(1,1)原理

灰色模型的本質是利用將原始數據序列累加后一般會呈現指數規律的特性，先對原始數據序列求累加序列，再擬合此累加序列的方程，根據此方程可以預測未來的數據（仍然是累加序列），經過反變換后可以得到原始數據序列的預測值。

設一個數列X(0)=[x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)]，有n個元素，其中x(0)(k)≥0，k=1，2，…，n；X(1)=[x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n)]稱為X(0)的一階累加序列(1-AGO)，其中x(1)(k) =Σki=1x(0)(i)=x(1)(k-1)+x(0)(k)，k=1，2，…，n；圖1中展示的最近20年棉花產量的一階累加和結果如圖2所示。

灰微分方程為式（1）

式（1）中a稱為發展系數，b稱為灰作用量，參數向量a=[a,b]T可以運用最小二乘法估計

其中Y，B分別為式（3）所示：

當k≥n時，所求得的x(1)(k+1)就是X(1)序列的預測值。

因此求得k≥n時的x(1)(k+1)序列的值，就可以利用式(5)求出X(0)序列的預測值。式(4)中只有兩個變量a和b，可由式(2)求出具體的值，為和另外兩個模型相區別，將此模型稱為“2變量ab擬合”。

圖2 2000—2019年20年棉花產量的一階累加和

2.2 增廣灰色模型

從式（4）中可以看出其中包含一個自變量k和兩個待定變量a、b；它是式（6）的一種特殊情況，當式（6）中 的a1、a4及a5等于0時，式（6）就退化為式（4），由于式（6）包含的可能性更多，因而將式（6）稱作增廣灰色模型。為與其他模型相區別，考慮到其中包含6個待定變量，將此模型命名為“6變量擬合”模型。

同理，可以定義包含范圍更廣的模型，如式(7)所示，其中包含9個待定變量，故將此模型命名為“9變量擬合”模型。當a1、a4、a7等于0時退化為式（6）。

如前所述，式(4)中的待定參數a和b可由式(2)計算出來，然而式(6)的待定參數a1至a6，以及式(7)中的待定參數卻難以通過少數矩陣運算求解出來；考慮到仿生計算方法如遺傳算法、蟻群算法及粒子群算法在數值優化及參數尋優方面有巨大優勢，尤其是粒子群算法在數值尋優方面算法相對簡單且易于實現，因而本文采用粒子群算法求解式(6)和式(7)中的參數。

2.3 粒子群算法原理

粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO）由Eberhart和Kennedy基于鳥群覓食行為的模擬于1995年提出。用一個粒子（實際是一個向量）來模擬一個鳥類個體，粒子的當前值（鳥的當前位置）即為所求問題的一個候選解，粒子不停地調整過程就是鳥的飛行過程。粒子具有速度和位置兩個屬性。粒子的飛行速度根據自己的歷史最優位置和種群中歷史最優粒子的位置按一定比例關系進行修正，這種過程不斷循環，不斷修正速度和位置，最終得到問題的最優解。

算法流程如下：

（1）初始化。設置最大循環次數或終止條件，粒子個數M（鳥群中鳥的數量），粒子的最大飛行速度(速度區間)，粒子中每個標量的取值范圍（搜索區間），在速度區間中隨機初始化每個粒子的速度值，在搜索區間中隨機初始化每個粒子向量中各個標量的值。

（2）個體最優解與全局最優解。定義適應度函數，個體最優解（Pi）為每個粒子個體在飛行過程中搜索到的歷史最優解，從所有粒子中找到的最優解叫全局最優解（Pg），每個粒子要朝著自己的個體最優解和全局最優解飛行，不斷更新。

（3）更新速度和位置。更新粒子速度的公式為式（8）：

其中，ω稱為慣性因子，只能為正值或者0，ω值大時全局尋優能力強，反之，全局尋優能力弱；c1、c2稱為加速常數，其中c1表示個體學習因子，c2表示全局學習因子。本文中設置ω=0.8、c1=0.2、c2=0.2。random(0,1)表示生成區間[0,1]上隨機數的函數；Vid表示第i個粒子速度的第d個標量，Pid表示第i個粒子個體最優解中的第d個標量，Pgd表示全局最優解中的第d個標量。

更新粒子位置的公式為式（9）：

其中，Xid表示第i個粒子的第d個標量。

3 試驗

本文試驗主要分三部分，分別對比“2變量ab擬合”模型、“6變量擬合”模型及“9變量擬合”模型的擬合精度，并從中選出一個最好的模型預測2020年的棉花產量。灰色模型的本質是建立指數模型，在建模前先要對歷年棉花產量X(0)序列求一階累加和，得到X(1)序列，即對X(1)中每個元素，有x(1)(k)= Σki=1x(0)(i),k=1,2,…,n；結果如表1中的第4列所示。

3.1 2 變量ab擬合

根據X(0)，X(1)構造公式（3）中的矩陣Y、B，根據最小二乘法解得參數向量a=[a,b]T=[-0.0117,516.7069]T，從而可得模型

由式(10)可以求出X(1)的模型擬合值，具體數值如表3中第5列所示。圖3直觀對比了X(1)及模型的擬合值，由圖中可見兩條線前面8個數據差異較大，后面12個數據差異較小。

表1 近20年棉花產量、一階累加和及三種模型對一階累加和擬合的結果

圖3 一階累加及其“2變量ab擬合”結果對比

3.2 6變量擬合

式（6）中含有6個待求變量，用普通的最小二乘法難以求出結果，改用粒子群算法根據X(1)求得參數a1=54.3377，a2=-46.7662，a3=0.0039，a4=-2.4487，a5=43.7599，a6=4.5330；因而公式（6）的擬合表達式為：

根據式（11）求得X(1)的擬合值，列于表3中第5列；圖4是X(1)及其擬合值的對比圖，從圖4中可以看出公式（11）的擬合結果，不論在序列的首部還是尾部都吻合得很好，效果優于“2變量ab擬合”方法。

圖4 一階累加及其“6變量擬合”結果對比

3.3 9變量擬合

與“6變量擬合”類似，同樣可用粒子群算法根據X(1)求得式（7）中的9個參數，a1=44.3481，a2=37.4067，a3=217.1029，a4=0.0057，a5=0.0102，a6=-0.2057，a7=22.2540，a8=60.4856，a9=74.9205，因而式（7）的擬合表達式為：

根據式（12）求得X(1)的擬合值，列于表3中第6列；圖5是X(1)及其擬合值的對比圖，從圖5中可以看出式（12）的擬合結果在序列的首部和尾部都吻合得很好，效果與“6變量擬合”方法類似。

圖5 一階累加及其“9變量擬合”結果對比

3.4 3種擬合方式的對比

表2列出了3種方法誤差對比。可以看出“9變量擬合”方案對X(1)序列擬合的絕對誤差、相對誤差及平均誤差都是最小的。但是，對X(1)擬合效果好，不等于對X(0)序列擬合效果也好。表3是由對X(1)序列的3種擬合值反推出的2018、2019年棉花年產量，可以看出“2變量ab擬合”方法對2018、2019年產量估計值的相對誤差均超過了5%，“9變量擬合”方法對2018年產量擬合的誤差小于5%，而對2019年產量的擬合誤差大于5%；只有“6變量擬合”方法對這兩年的擬合誤差均小于5%；這說明擬合所用多項式的次數以及參數的個數并不是越多越好，因而比較合理的方案是選擇“6變量擬合”，即公式（11）方法預測2020年的產量。

表2 3種擬合方法的誤差對比

由式（11）可以算出X(1)序列的第21個擬合值，X(1)(21)=12587.7，2020年的產量估計值X(0)(21)=X(1)(21)－X(1)(20)=12587.7－12008=579.7(萬噸)。

表3 3種擬合方法對2018、2019年產量的擬合結果及誤差對比

4 總結與討論

在眾多預測算法中，灰色系統理論由于對統計數據少、信息不完全數據序列的擬合與建模獨具特色，已在經濟、科學等諸多領域的預測、決策及評估中得到了廣泛應用。本文以2000—2019年全國棉花產量為基礎數據序列，基于GM(1,1)模型設計了“6變量擬合”模型及“9變量擬合”模型，并使用粒子群算法求解模型中的變量，發現“6變量擬合”模型精度最高，是最優模型，再使用“6變量擬合”模型預測2020年的棉花產量。