隨機強偽壓縮算子多步迭代序列的收斂性

聶 輝，張樹義

（渤海大學 數理學院，遼寧 錦州121013）

1 引言和預備知識

隨機不動點問題廣泛應用于生物、物理和經濟等領域.文獻[1-8]對隨機不動點理論進行了廣泛研究，其中，文獻[1-2]在可分的Hilbert空間中研究了隨機算子方程解和隨機算子不動點隨機Mann迭代序列的收斂性，文獻[3]在值域有界的一致光滑可分的Banach空間中研究了一類隨機強偽壓縮算子隨機不動點的Ishikawa迭代序列的逼近問題.另外，文獻[9-17]研究了包括廣義Lipschitz算子在內的幾類非線性算子不動點迭代的逼近問題，文獻[18-24]研究了幾類非線性映象不動點多步迭代算法的收斂性.受上述工作啟發，本文用廣義Lipschitz取代值域有界條件，在可分Banach空間中研究一類隨機強偽壓縮算子隨機不動點的多步隨機迭代序列的逼近問題，建立了隨機強偽壓縮算子隨機不動點的多步隨機迭代序列的強收斂性定理.由于值域有界一定是廣義Lipschitz的，而反之未必成立[13]，因此本文推廣和改進了相關文獻中的結果.

假設（Ω，∑）為一可測空間，∑是Ω的σ-代數.E為一致光滑的可分Banach空間，E*為E的對偶空間，C為E的非空閉凸子集，正規對偶映象J：E→2E*為

定義1[3]（1）稱函數f：Ω→C為可測的，如果對任意Borel子集B，有f-1（B∩C）∈∑.

（2）稱T：Ω×C→C為隨機算子，如果對任一x∈C，T（·，x）：Ω→C是可測的.

（3）稱可測函數f：Ω→C為隨機算子T：Ω×C→C的隨機不動點，如果對任意ω∈Ω，有T（ω，fω）=f（ω）.

（4）稱隨機算子T：Ω×C→C為連續的，如果對任意給定的ω∈Ω，T（ω，·）：C→C是連續的.

引理1[8]設E為可分的距離空間，Y為距離空間.T：Ω×E→Y在ω∈Ω是可測的，并且在x∈E是連續的.如果g：Ω→E是可測函數，則f（·，g（·））：Ω→Y是可測的.

定義2設Ti（i=1，2，…，s）：Ω×C→C為s個連續的隨機算子，x0：Ω→C是任意給定的可測函數，定義序列{xn（ω）}為

稱序列{xn（ω）}為隨機多步迭代序列，其中[0，1]，i=1，2，…，s-1.

在定義2中取s=2，對每一ω∈Ω，令T1（ω，·）=T2（ω，·）=T（ω，·），便得到文獻[10]中的隨機Ishikawa迭代序列

注1Ti（i=1，2，…，s）：Ω×C→C是連續的隨機算子，C是E的非空閉凸子集，x0：Ω→C是可測函數.由引理1易知{xn}和{yni}（i=1，2，…，s-1）是Ω到C的可測函數.

定義3[3]（1）稱隨機算子T：Ω×C→C為強偽壓縮的，如果存在函數k：Ω→（0，1），對任意x、y∈C，存在j（x-y）∈J（x-y），使得對每一ω∈Ω，有

（2）稱隨機算子T：Ω×C→C為強增生的，如果存在函數h：Ω→（0，1），對任意x、y∈C，存在j（x-y）∈J（x-y），使得對每一ω∈Ω，有

注2T：Ω×C→C是具有函數k：Ω→（0，1）的強偽壓縮算子，當且僅當I-T是具有函數h：Ω→（0，1）的強增生算子，其中h（ω）=1-k（ω）.

下面將廣義Lipschitz算子擴展到隨機算子的情形.

定義4稱隨機算子T：Ω×C→C為廣 義Lipschitz的，如果存在常數L≥1，使得對任意x、y∈C，對每一ω∈Ω，有

注3文獻[13]指出：值域有界的隨機算子一定是廣義Lipschitz的，而反之未必成立.

引理2[9]設E為實Banach空間.

（1）如果T：E→E是連續的強偽壓縮算子，則T有唯一不動點.

（2）如果T：E→E是連續的強增生算子，則對f∈E，方程Tx=f有唯一解.

引理3[3]設E為實Banach空間，J是正規對偶映射，則對任意x、y∈E，有

引理4[10]設{an}和{bn}為2個非負實數列，滿足an+1≤（1-tn）an+bn，n≥n0，其中n0是非負整數，tn∈則有

2 主要結果

定理1設E為實一致光滑可分的Banach空間，C是E的非空閉凸子集，Ti（i=1，2，…，s）：Ω×C→C是具有函數k：Ω→（0，1）的s個連續廣義Lipschitz隨機強偽壓縮算子，Ti（ω，·）的不動點集記為F（Ti（ω，·）），是由式（1）定義的多步隨機迭代序列滿足條件則序列{xn}強收斂到Ti的隨機公共不動點.

證明因為Ti（i=1，2，…，s）：Ω×C→C是具有函數k（ω）：Ω→（0，1）的連續隨機強偽壓縮算子，任意給定ω∈Ω，Ti（ω，·）：C→C是具有k（ω）∈（0，1）的強偽壓縮算子，由引理2知Ti（ω，·）：C→C有唯一不動點，即存在唯一的xi*（ω）∈C，使得xi*（ω）=Ti（ω，xi*（ω））.又因此，對任意給定的ω∈Ω，存在唯一的由式（1），對每一ω∈Ω，有

將式（4）代入式（3）可得

由式（1）連續做s-2步迭代，有

又由式（1）有

將式（6）代入式（5），可得對每一ω∈Ω，有

類似式（7）的證明過程可得

因為Ti：Ω×C→C是廣義Lipschitz的，故存在常數L≥1，使得對任意x、y∈C及每一ω∈Ω，結合式（7）有

由式（1）和引理3，對每一ω∈Ω，有

其中

下證An（ω）→0（n→+∞）.由式（1）和式（8），對每一ω∈Ω，有

于是對每一ω∈Ω，有

因為E是一致光滑的Banach空間，故正規對偶映象J在E的任何有界子集上一致連續，于是由J的一致連續性可知：對每一ω∈Ω，有An（ω）→0（n→+∞）.

由式（1）和引理3以及式（8），對每一ω∈Ω，有

其中

下證Bn（ω）→0（n→+∞）.由式（1），對每一ω∈Ω，有

由式（1）和式（8），對每一ω∈Ω，有

將式（8）和式（13）代入式（12），有

由J的一致連續性知Bn（ω）→0（n→+∞）.

將式（11）代入式（10），對每一ω∈Ω，有

據此可得

其中

因為αn→0，gn→0（n→+∞），因此fn→0（n→+∞），于是存在正整數n0，對n>n0，有從而對任意n>n0，對每一ω∈Ω，有

推論設E為實一致光滑可分的Banach空間，C是E的非空閉凸子集，T：Ω×C→C是具有函數k：Ω→（0，1）的連續廣義Lipschitz的隨機強偽壓縮算子.{xn（ω）}是由式（2）定義的隨機Ishikawa迭代序列.{αn}、{βn1}?[0，1]滿足條件則序列{xn}強收斂到T的隨機不動點.

作為上述結果的應用，下面討論強增生隨機算子方程隨機解的迭代收斂性.

定理2設H為可分的Hilbert空間，T：Ω×H→H是具有函數h：Ω→（0，1）的連續隨機強增生算子.設f：Ω→H為一可測函數，令S：Ω×H→H為S=IT+f.x0：Ω→C為任意給定的可測函數，{xn（ω）}是由下式定義的隨機Ishikawa迭代序列，

{αn}、{βn1}?[0，1]滿足條件（1）αn→0，βn1→0（n→+∞）；如果S是廣義Lipschitz的，則對任意給定的可測函數f：Ω→H，隨機算子方程

有唯一隨機解x*：Ω→H，且對每一ω∈Ω，隨機迭代序列{xn（ω）}強收斂到x*（ω）.

證明由條件可知S：Ω×H→H是具有函數k：Ω→H，k（ω）=1-h（ω）的連續廣義Lipschitz隨機強偽壓縮算子.由推論，對每一ω∈Ω，由式（15）定義的序列{xn（ω）}強收斂到S的隨機不動點x*：Ω→H，因此S（ω，x*（ω））=x*（ω），即T（ω，x*（ω））=f（ω），ω∈Ω，這蘊含x*（ω）是隨機方程（16）的隨機解.證畢.

注4本文從兩方面推廣和改進了文獻[3]中的結果：（1）將隨機Ishikawa迭代序列推廣到多步隨機迭代序列；（2）用廣義Lipschitz算子取代值域有界條件.

例設Ω=[0，1]，取C=（-∞，+∞）具有通常意義的范數.∑是Ω的σ-代數在[0，1]上的Lebesgue可測子集，定義隨機算子T：Ω×C→C為T（ω，x）=2ω-x，則對每一ω∈Ω，可測映象x*：Ω→C，x*（ω）=ω是T的唯一隨機不動點.對任意x、y∈C，存在j（x-y）∈J（x-y），使得對每一ω∈Ω，取有

由此T：Ω×C→C是一個具有的強偽壓縮算子，且是具有L=1的廣義Lipschitz算子.取則推論中的所有條件均滿足.因此由式（2）定義的序列{xn}強收斂到T的隨機不動點x*（ω）=ω.事實上

但因為T的值域無界，因此文獻[3]中的定理2.1不能用于此算例.