n維模糊數(shù)值函數(shù)Henstock-Stieltjes積分原函數(shù)的可導(dǎo)性與導(dǎo)函數(shù)的可積性

肖志勇， 王欣欣

（隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅慶陽745000）

為了處理一些不確定、模糊問題，模糊數(shù)學(xué)得以發(fā)展，其中，模糊分析學(xué)中的模糊數(shù)值函數(shù)微積分理論是一個重要的研究方向［1-4］.在實值函數(shù)情形下，Stieltjes積分可以看作是Riemann積分的推廣.對于模糊數(shù)值函數(shù)，Nanda［5］和 Wu［6］從不同角度定義了Riemann-Stieltjes積分.文獻［7-8］發(fā)現(xiàn)了連續(xù)的模糊數(shù)值函數(shù)關(guān)于單調(diào)不減函數(shù)是Riemann-Stieltjes可積的.2010 年，鞏增泰等［9］定義和討論了一維模糊數(shù)值函數(shù)的Henstock-Stieltjes積分及其性質(zhì)，研究了積分原函數(shù)的可導(dǎo)性與導(dǎo)函數(shù)的可積性.2014年，劉坤等［10］定義了n維模糊數(shù)值函數(shù)的Henstock-Stieltjes積分，并給出了一些性質(zhì).2017年，崔建斌等［11］討論了n維模糊數(shù)值函數(shù)的Henstock-Stieltjes積分的性質(zhì)，并利用集值函數(shù)、向量值函數(shù)以及實值函數(shù)的Henstock-Stieltjes積分給出了其刻畫定理.本文利用支撐函數(shù)討論了n維模糊數(shù)值函數(shù)Henstock-Stieltjes積分原函數(shù)的可導(dǎo)性與導(dǎo)函數(shù)的可積性.

1 預(yù)備知識

本文中用En表示n維模糊數(shù)空間.模糊數(shù)∈En，是指是正規(guī)、凸模糊集，隸屬函數(shù) u（x）是上半連續(xù)函數(shù)且具有緊支集［1］.對在模糊數(shù)空間En中加法及數(shù)乘運算分別定義為：

其中，當 λ∈（0，1］時，有

當λ＝0時，有

定義

引理 1.1［1］設(shè)∈En，則：

2）若0≤λ1≤λ2≤1，有

3）若正數(shù)列｛rm｝非降收斂于 r∈（0，1］，有

反之，若對任何 r∈［0，1］，均存在 Ar?Rn滿足上述條件1）～3），則存在唯一的模糊數(shù)，使得對且

其中，I＝［0，1］，Sn-1是 Rn的單位球面，即

〈·，·〉是Rn中的內(nèi)積.

引理 1.2［12］若1］，那么

2）當 k≥0 時，u*（r，kx）＝ku*（r，x）；

2 主要結(jié)果

定義2.1設(shè)n維模糊數(shù)值函數(shù)關(guān)于實值增函數(shù) α（t）在 t0∈［a，b］處 α - 可導(dǎo)，是指En，使得極限

定義2.2設(shè)n維模糊數(shù)值函數(shù)關(guān)于實值增函數(shù) α（t）在 t0∈［a，b］處 α -支撐可導(dǎo)，是指使得極限

和

對（r，x）∈I× Sn-1一致存在且等于稱之為在 t0處的 α - 支撐導(dǎo)數(shù)，記為，即

定理 2.3設(shè) n 維模糊數(shù)值函數(shù)上滿足 H-差性質(zhì)，則處 α - 可導(dǎo)的充分必要條件是處 α - 支撐可導(dǎo)，且

或

證明必要性 因為在 t0∈［a，b］處 α -可導(dǎo)，則存在n維模糊數(shù)使得

即?∈＞0，?δ＞0，當0＜h＜δ時，有

所以，極限

對（r，x）∈I× Sn-1一致存在且等于.同理，可證對任意x∈Sn-1，極限

對（r，x）∈I× Sn-1一致存在且等于即在 t0∈［a，b］處 α -支撐可導(dǎo)，且

和

或

即?∈＞0，?δ＞0，當 0＜h＜δ時，對（r，x）∈I×Sn-1一致有

所以?∈＞0，?δ＞0，當0＜h＜δ時，有

即

即

定義 2.4［10］n 維模糊數(shù)值函數(shù)關(guān)于實值函數(shù) α（t）在［a，b］上模糊 Henstock-Stieltjes可積，是指存在，對任意給定的∈＞0，存在定義于［a，b］上的正值函數(shù) δ（t），使得對［a，b］上的任何δ-精細分法 T＝｛［u，v］，ξ｝，有

定理 2.5設(shè)是［a，b］上的 n 維模糊數(shù)值函數(shù)，α（t）為實值增函數(shù)，則的充分必要條件是對任意的 x∈Sn-1，實值函數(shù)在［a，b］上關(guān)于 α 對 r一致（HS）可積（δ（t）的選取與 r無關(guān)），且

證明必要性 若

則對任意 ∈＞0，存在定義與［a，b］上的正值函數(shù)δ（t），使得對［a，b］上的任何 δ- 精細分法 T＝｛［ti-1，ti］；ξi｝有

因此

所以，對任意的 x∈Sn-1，有

充分性的證明類似于文獻［8］定理2（5）→（1）.

定理 2.6設(shè) n 維模糊數(shù)值函數(shù)是［a，b］上連續(xù)，α（t）為實值增函數(shù)，則在［a，b］上α -可導(dǎo)，且對任意的 t∈［a，b］，有

其中

證明顯然，對任意的H-差存在.因為 n維模糊數(shù)值函數(shù)上連續(xù)，因此對任意 ∈＞0，存在 δ＞0，當0＜h＜δ時，有所以，對任意 ∈＞0，存在 δ＞0，當0＜h＜δ時，對（r，x）∈I×Sn-1一致有

即

對（r，x）∈I× Sn-1一致存在且等于.類似地，有

對（r，x）∈I× Sn-1一致存在且等于因而在 t處的 α -支撐可導(dǎo).所以，根據(jù)定理2.3，在 t處的 α -可導(dǎo)，且

定理 2.7設(shè)n 維模糊數(shù)值函數(shù)是［a，b］上滿足H-差且α-可導(dǎo)，則

且

證明因為n維模糊數(shù)值函數(shù)是［a，b］上滿足H-差且α-可導(dǎo)，所以根據(jù)定理2.3可知，對任意 ∈＞0，存在 δ＞0，當

時，對r一致有

由上面兩式得

從而，對任意的 ∈＞0，存在 δ（t）＝δ，使得對［a，b］上任意δ-精細分法

有

所以對任意的 x∈Sn-1，實值函數(shù)在［a，b］上關(guān)于 α 對 r一致（HS）可積，且

即

根據(jù)定理2.5有

且

因而

即