基于自抗擾的永磁同步電機諧波抑制策略＊

王淑旺 夏麒翔

（合肥工業大學，合肥 230009）

1 前言

永磁同步電機（Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM）在新能源汽車領域被廣泛使用，具有效率高、轉矩密度大、調速范圍寬等優勢[1]。PMSM在工作過程中受死區效應、電氣元件誤差及導通壓降、電機結構不對稱等因素影響，會產生高次諧波，使三相電流發生畸變[2]，進而影響輸出扭矩的穩定性和準確性[3]。針對這類問題，國內外學者展開了大量研究。文獻[4]基于Maxwell 和Simplorer 軟件建立聯合仿真模型，用數值分析方法計算出3次諧波并注入電機控制環，成功減少了3、5、11、19次諧波分量，但會增加其他高次諧波。文獻[5]提出了一種并聯前饋用以補償逆變器死區效應帶來的5、7次諧波的方法，但對于其他原因形成的高次諧波沒有作用。文獻[6]、文獻[7]基于PMSM矢量控制系統搭建數學模型，引入諧波電流環。文獻[8]、文獻[9]基于PMSM 電壓模型，在電流環上并聯諧振控制器，減少了5、7 次諧波分量，但會使不同頻率的諧波互相影響，加大其他高次諧波含量。文獻[10]以測試信號與測試速度為依據設計諧波抑制算法，實現了最佳諧波電流設計。文獻[11]應用遺傳算法計算并優化諧波電流的相位角及幅值，以減小轉矩脈動。

針對三相電流畸變所引起的轉矩脈動問題，本文提出一種基于自抗擾控制器（Active Disturbance Rejec?tion Control，ADRC）的諧波抑制算法，取代傳統比例積分環節（Proportional Integral，PI）在電機電流環中的作用，并針對5、7 次諧波建立合適的數學模型，將交變諧波轉換為直流量注入電機控制系統，以期提高電驅系統的穩定性。

2 諧波抑制數學模型

2.1 旋轉坐標系變換原理

永磁同步電機控制系統是一個復雜、耦合的系統，存在大量交變變量。工程試驗發現，5次負向、7次正向諧波在電機電流中占有較大比例，影響車輛的穩定性與NVH性能。對于交變變量，控制器不易控制，故可以使用Park、Clark 變換轉化為直流量。這種方法極大地簡化了PMSM的數學模型。運用這種思想，也可以進一步提取出電機電流中的5次負向諧波和7次正向諧波。電機電流坐標系如圖1所示。

圖1 旋轉坐標系及靜態坐標系

根據圖1，結合Park 變換思路，可以推導出在旋轉坐標系下，不同階次坐標系之間相互轉換的坐標變換矩陣為：

式中，r為原階次；k為目標階次；θ為轉子位置。

2.2 補償電壓計算方法

式中，ud、uq分別為d、q軸電壓；R1為定子電阻；id、iq分別為d、q軸電流；p 為微分算子；ω為電角速度；φd、φq分別為d、q軸磁鏈。

為了計算出5 次負向電流諧波，將r=-5、k=1 帶入式（1），可得：

將式（3）兩側同時對時間t求導，且已知為常數，故可知其對時間求導結果為零，并再次將式（1）帶入可得：

將式（4）帶入式（2），進一步計算可得：

同理可得：

式中，Ld、Lq分別為d、q軸電感。

考慮到凸極永磁同步電機諧波之間的耦合性，將式（5）、式（6）相加，結合式（1）坐標變換矩陣進行計算，并提取出易于控制器控制的直流量，可得：

得到5、7次電壓諧波后，轉換到1次坐標系下，再相加即可得到應注入系統的總電壓諧波。

3 自抗擾控制器模型

3.1 自抗擾控制器原理分析

傳統PI 控制器最大的優勢是簡單且性能相對較好，其機理是基于誤差進行反饋調節。本文所提出的諧波抑制算法本質上也是針對系統內、外擾動所造成的穩態誤差進行補償[12]。使用PI 控制器搭配諧波抑制算法時的不足主要有：系統無法對體現為非周期性的瞬時擾動作出及時且恰當的反應以消除其影響；被控量存在實際誤差后再進行修正的方式必然存在時間上的滯后性。而自抗擾控制器可以從被控對象輸出量中提取出擾動量，并在控制率中進行消除。排除電機內部擾動后，再對系統其他環節擾動所造成的高次電流諧波進行補償，相較PI控制器性能更優。

自抗擾控制器包含跟蹤微分器（Tracking Differenti?ator，TD）、非線性狀態誤差反饋控制率（Nonlinear States Error Feedback Control Laws，NLSEF）和擴張狀態觀測器（Expansion State Observer，ESO）[13]。其中，TD 可以跟蹤輸入信號及其微分信號減緩超調現象，ESO的作用是對被控對象的狀態變量及其擾動信號進行觀測，NLSEF對TD輸出的控制信號及其微分與ESO觀測到的系統輸出進行處理與擾動補償[14]。

3.2 自抗擾控制器設計

電機輸出端的負載扭矩存在擾動，受控電機系統內部也存在著擾動，若電機電流環不能及時進行恰當處理，則系統容易出現偏差甚至失控，從而影響電機性能。

TD 相較于傳統微分器有著跟蹤速度更快、精度更高的優勢，其微分信號與跟蹤信號相對獨立，使TD對于輸入信號形式要求不高，有較大范圍的通用性。TD 的階躍響應為：

式中，x0為系統的輸入；x1為輸入跟蹤值；x2為輸入近似微分值；r為速度因子；h為濾波因子；f(x1-x0,x2,r,h)函數的具體表達式為：

式中，g、g0、y、a0、b均為中間變量。

增大r會使TD的過渡時間減小，過渡時間過小時，TD 模塊失去緩沖作用，過渡時間過大會影響系統響應速度，本文設r=30，h=0.001。

考慮到電流環狀態表達式為一階，故將TD 計算出的近似微分信號乘以步長，與跟蹤輸入信號相加作為輸出，如圖2 所示。TD 模塊可以完成對輸入信號的跟蹤和濾波功能。

圖2 跟蹤微分器模型

由式（2）可得PMSM的狀態方程為：

由式（10）可知，電角速度ω，以及d、q軸的電流、電壓和電感波動均可視為系統的擾動來源。ESO 的原理是對受控系統的輸入、輸出量進行觀測，這種方式決定了其并不依賴受控系統本身數學模型的特性。根據電流環狀態方程，本文采取一階ADRC 算法，電流環ESO計算公式為：

NLSEF 可以理解為優化后的PI 控制器，它采取非線性函數fal對系統誤差進行處理，可以有效消除穩態誤差及高頻顫振。其計算公式為：

式中，if為電機測量電流；z1為電流觀測值；為z1對時間的導數；z2為總擾動觀測值；為z2對時間的導數；i為輸入信號；e1、e2為狀態變量誤差；β1、β2、β3為增益參數，ESO特征多項式為(s2+β1s+β2)，習慣上將其設置為(s+c)2，本文取常數c=800，β3的取值參考PI取值方法；α1、α2、α3為非線性因子，一般在0～1 范圍內取值，本文均取0.5；δ為濾波系數，本文取δ=0.001；b0為擾動增益系數，本文取b0=10；u0為NLSEF模塊輸出；u為電機系統輸入。

fal(e,α,δ)具體表達式為：

式中，e為誤差；α為非線性因子。

根據上述公式搭建仿真系統模型，ADRC 模型如圖3所示，仿真系統模型如圖4所示。

圖3 ADRC仿真模型

3.3 自抗擾控制器穩定性證明概要

自抗擾控制器在工程實踐中應用廣泛，其理論穩定性證明有著重要意義和迫切需求。該證明方法已有學者進行研究，此處對證明思路總結概要，具體證明方法可參考文獻[15]。

首先對ADRC 進行簡化，令輸入為0，則TD 模塊輸出為0，將NLSEF簡化為線性誤差反饋，公式為：

圖4 基于自抗擾控制器的永磁同步電機諧波抑制算法仿真模型

令控制系統為線性定常系統，公式為：

式中，x為系統狀態變量；x(n)為x的n階導數；ai為增益系數。

將式（14）、式（15）帶入式（11），經過數學推導及整理即可得出文獻[15]給出的定理“一階ADRC 關于絕對穩定零解的充分必要條件是一階線性控制對象漸進穩定，且ADRC參數均大于零。”參考該定理可知本文所述ADRC是穩定且收斂的。

4 仿真及試驗

4.1 仿真分析

根據搭建的基于自抗擾控制器的永磁同步電機諧波抑制算法仿真模型設置電機及逆變器模型參數如表1所示。電機轉速為1 500 r/min，扭矩為100 N·m。

表1 永磁同步電機及逆變器參數

本文模型仿真試驗主要針對該算法的抗擾性及諧波抑制的效果進行對比分析。在抗擾性對比試驗中，將圖4中的自抗擾控制器替換為PI 控制器作為參考對象1，再在參考對象1 的基礎上安裝傳統非擴張狀態觀測器作為參考對象2。在3 組對象控制環節中分別注入-50 V 的反電動勢模擬電機運行過程中機電部分可能出現的內、外擾動，結果如圖5 所示。在控制環節的輸入電流信號中注入1 組上限為30 A 的隨機信號模擬電機控制器驅動部分可能出現的信號干擾，結果如圖6所示。最后，對比PI控制器與ADRC搭配諧波抑制算法的電流波形，結果如圖7所示。

圖5 注入反電動勢時控制扭矩仿真結果

圖7 諧波抑制效果U相電流仿真波形對比

由圖5 可知，PI 控制器存在較長時間的穩態誤差，而PI 配合非擴張狀態觀測器以及ADRC 都可以較快消除外部擾動，ADRC 抗干擾性更優。由圖6 可知，參考對象1 和參考對象2 效果類似，波形相較ADRC 均不理想。對于諧波抑制算法，ADRC 和PI 控制器對高次諧波的抑制效果具體數據如表2 所示，ADRC 效果略優于PI。在實際調試過程中發現，PI 控制器的超調與速度存在矛盾，而諧波抑制的效果也與控制器參數強相關，在調節過程中往往顧此失彼，難以兩全。反觀ADRC，由于TD 模塊可以對輸入信號進行跟蹤和濾波，起到緩沖作用，超調現象已然解決。而ESO 和NLSEF 的設計結構決定了其速度和抗擾性均優于PI的簡單結構。在參數調試過程中，ADRC 基本無需考慮超調問題，對參數要求低，輕易即可使諧波抑制算法的效果優于PI 控制器。

4.2 試驗驗證

為進一步驗證算法的可靠性，使用如圖8 所示的AVL臺架搭建平臺進行試驗。

圖8 試驗平臺及其硬件結構

考慮到臺架安全性要求及受試驗設備制約，無法外加反電動勢模擬外部擾動，故只進行諧波抑制效果對比試驗。電機控制器芯片型號為TMS570ls1115，功率開關器件絕緣柵雙極型晶體管（Insulated Gate Bipolar Transistor，IGBT）型號為SKiM606GD066HD，直流電由AVL臺架供應，電壓330 V，其他參數與表1所列仿真參數相同。設置電機轉速為1 500 r/min，扭矩為100 N·m，試驗數據如表3所示，電機U相電流波形如圖9所示。

表3 U相電流諧波抑制試驗效果對比 %

圖9 諧波抑制效果U相電流試驗波形對比

試驗結果驗證了基于自抗擾控制器諧波抑制算法策略的可行性及優越性，同時，ADRC 控制器因其抗擾能力強，對于高頻次諧波也可起到一定的濾波效果。

5 結束語

本文用ADRC 控制器替代PI 控制器在永磁同步電機電流環中的作用，并結合諧波抑制算法對電機電流中的5、7 次諧波進行補償修正，仿真和試驗結果表明，ADRC控制器可以很好地實現傳統PI控制器的功能，同時，ADRC 控制器使系統抗干擾能力更強，諧波抑制效果更優，參數調節更易。