基于Lyapunov 穩定性的風機速度漸近跟蹤控制

于江波劉怡彤石啊蓮

(1.山東建筑大學 理學院，山東 濟南250101；2.齊魯師范學院 數學學院，山東 濟南250200)

0 引言

穩定性是現代系統與控制科學的重要概念。 早在2000 年前，古代中國的漢朝淮南王劉安所著的《淮南子·說山訓》中就曾指出“下輕上重，則覆必易”，這是中國古代出現的對穩定性概念的最初理解[1]。 1892 年，李雅普諾夫(Lyapunov)發表了著名的博士論文《運動穩定性一般問題》，利用柯西關于微積分極限描述的ε - δ語言，將常微分方程解對初值的連續依賴由有限時間拓展到無窮時間區間，給出了有關穩定、漸近穩定的科學概念，開創了運動穩定性的一般理論。 自此，李雅普諾夫穩定性理論在系統理論與工程應用中起著愈來愈重要的作用[2]。

眾所周知，非線性微分方程難以求得解析解[3-5]。 李雅普諾夫穩定性理論的一個強大功能是在不必已知方程解的情況下，通過選取李雅普諾夫函數的方法，就可以判定解的某些性能，這為人們認識更廣泛的非線性微分方程提供了重要工具。20 世紀90 年代發展起來的反步法(Backstepping)是非線性系統控制理論的一個突破[2]，其將復雜的非線性系統分解為不超過系統階數的子系統，為每個子系統選取李雅普諾夫函數和虛擬控制量，按照負反饋調節方式，一直后退到整個系統，最后完成整個控制律的設計。 應用反步法可以解決一大類形如下三角形式的非線性系統控制設計與李雅普諾夫穩定性問題[6-10]。

文章將應用李雅普諾夫穩定性理論結合反步法研究風機速度控制系統的速度控制問題。 風機是一類依靠輸入的機械能提高氣體壓力并排送氣體的機械裝置，目前已廣泛應用于礦井、礦山、礦井、隧道、船舶和建筑物的通風、排塵、冷卻中。 風機關系到系統的輸配能耗，是建筑節能非常關鍵的部分。 針對一類由直流電動機驅動的風機速度控制系統，近年來已有大量的研究。 Freeman 等[11]研究了電流可測情況下的風機速度控制；Jiang 等[12]隨后提出了電流不可測情況下的速度控制器；Wu 等[13]進一步在電流不可測、電感系數未知的情況下，基于黎卡提微分方程的觀測器設計了速度控制器；Wu 等[14]利用時變卡爾曼濾波器實現了外部擾動情況下的風機速度控制；Yu 等[15]通過擬符號函數技術實現了風機速度對于任意設定速度的實用跟蹤控制。 但是上述文獻中針對風機系統的研究，都是基于理想情況下轉動負載是風機速度的線性函數的假設，然而直流電機本身是一個非線性系統，且多變量、非線性、強耦合的控制對象，從電機電流和勵磁的非線性變化來看，運用非線性的控制方法更加合理、準確[16]。Freeman 等[11]也指出，轉動負載實際上是與風機速度成正向增長關系的非線性函數。

因此，文章針對轉動負載是不確定的非線性函數情況，探討了風機系統的速度跟蹤控制問題。 應用李雅普諾夫穩定性理論進行了系統穩定性分析，基于矩陣相似變換的方法對風機系統再建模，避免了現有文獻中需要在反饋設計前進行一個預前反饋的假設。 引入動態輔助變量對未知參數進行估計，并應用反步法設計了速度控制器，通過Matlab 仿真軟件驗證能否實現風機速度對于任意給定的設定速度的漸近跟蹤控制并保持穩定。

1 李雅普諾夫穩定性定義及相關結論介紹

一階時變微分方程由式(1)表示為

式中:f為關于t分段連續和x滿足局部Lipschitz 條件的非線性函數，f: [0，∞)× D→Rn，其中D為包含原點x =0 的定義域，D?Rn。 如果滿足式(2):

則稱原點是一階時變微分方程式(1)的一個平衡點(或零解)。

假設可微函數x = φ(t) 是微分方程式(1)的一個非零解，可利用變換y =x - φ(t) 將式(1)轉化為(t，y) 其中g(t，y)=f(t，y +φ(t))-f(t，φ(t))且g(t，0)=0，因此式(1)的非零解可轉化為微分方程(t，y) 的零解，從而要研究式(1)的解x =φ(t) 的性態，只需研究其零解的性態即可。

微分方程(組)平衡點的李雅普諾夫穩定性定義和李雅普諾夫穩定性判定定理有:

定義1[3]如果對任意給定的ε＞0，存在δ＞0，使得當任一x0∈Rn滿足‖x0‖≤δ時，方程由初值條件x(t0)=x0確定的解x(t)，對一切t≥t0均有‖x(t)‖≤ε，此時方程的零解x=0 是穩定的，如圖1 所示。

圖1 穩定示意圖

定義2[3]如果方程的零解是穩定的，并且存在δ0＞0 使得當‖x0‖＜δ0時，滿足初值條件x(t0)=x0的解x(t) 均有則此時稱零解x =0 是漸近穩定的，如圖2 所示。

圖2 漸近穩定示意圖

定理1[3]如果式(1)可以找到一個正定函數V(x) ，其通過式(1)的全導數為常負函數或者等于零，則式(1)的零解是穩定的；

如果正定函數V(x) 通過方程組的全導數為定負的，則式(1)的零解是漸近穩定的；

如果存在函數V(x) 和某一非負常數μ，且通過式(1)的全導數可以由式(3)表示為

當μ =0 時，W為正定函數；當μ≠0 時，W為常正函數或者恒等于零，并且在x =0 的任意小鄰域內至少存在某個，使得V()＞0，則式(1)的零解是不穩定的。

2 風機速度漸近跟蹤控制的設計與分析

2.1 風機速度控制系統模型

文章將應用李雅普諾夫穩定性理論研究風機速度控制系統的速度漸近跟蹤控制問題。 一類由直流電動機驅動的風機速度控制系統，其數學模型[11]由式(4)表示為

式中:v為風機轉速，rad/s；y = v為系統的輸出，rad/s；I為電樞電流，A；u0為輸入電壓，作為系統的控制輸入，V；τD(v) 為不確定的轉動負載，其依賴于風機速度；J1為轉動慣量，kg·m2；J2為電感系數，H；R為電阻，Ω；k1、k2為已知比例常數。

在文獻[11-15]中，將轉動負載τD(v) 假定為風機速度v的線性函數并通過設計控制律使得系統的轉速達到穩定狀態。 文章在此基礎上，進一步考慮在τD(v)= ωv3(ω為未知常數，ω＞0)為非線性函數情況下，將電機作為轉矩源，通過反步法設計速度控制器，并利用李雅普諾夫穩定性理論證明風機轉速v能夠實現對任意給定速度vr的漸近跟蹤控制并達到穩定狀態。

2.2 風機速度漸近跟蹤控制器設計

式(4)可轉化為一類非線性微分方程并由式(5)表示為

對于給定的任意速度設定值vr(t) ， 定義誤差變量z1= x1- vr，通過選取連續可微的Lyapunov 函數設計速度控制器u使得誤差z1在t→∞時趨于零。

步驟1: 針對式(7)，為應用反步法，選取α1為虛擬控制律，令誤差為z2= x2- α1。 考慮李雅普諾夫函數根據式(7)，V1的時間導數可由式(8)表示為

因為ω未知，從而θ是未知常數，因此難以判斷其負定性，采用自適應變量估計對θ進行補償。假設是未知常數θ的在線估計值，是估計誤差，則由式(8)得到的由式(9)表示為

選取虛擬控制律α1由式(10)表示為

對式(12)求導，得到式(13)為

將式(14)代入式(13)，可得到式(15)為

步驟2:選取的李雅普諾夫函數，由式(16)表示為

速度控制器u由式(19)表示為

從而式(17)可化為式(20)表示為

2.3 風機速度漸近跟蹤控制的穩定性分析

對于變換后的風機速度控制系統(4)，應用設計的自適應速度跟蹤控制器(19)，得到閉環系統由式(21)表示為

式(21)即為非線性常微分方程組。 考慮到式(16)中選取的李雅普諾夫函數為正定連續可微函數，其導數滿足式(20)，可知為常負函數，因此滿足漸進穩定的條件，根據李雅普諾夫穩定性定理1 可知非線性微分方程式(21)的解是穩定的。

根據式(20)，對其兩邊積分得到式(22)為

即可由式(23)表示為

因此，z1、z2是平方可積的；考慮到有界且θ為(未知)常數，vr(t) 為已知有界函數，得到α1及有界，從而根據式(22)可知是有界的。 根據Barbalat 引理[17]，由式(24)表示為

考慮變換，變換矩陣由式(25)表示為

式中:*代表矩陣的某元素，顯然其大小不影響矩陣的可逆性。

根據式(25)，上述變換矩陣滿足條件由式(26)表示為

式(25)定義的變換是可逆的，因此設計的速度控制器能夠實現風機速度的漸近設定點跟蹤控制。

綜合上述分析，可以得到如下結論:

對于風機速度控制系統，在轉動負載為不確定非線性函數的情況下，應用文章中設計的速度控制器u，能夠保證閉環系統的解(x1，x2，θ＾1，θ＾

2) 全局有界，且能夠實現風機速度v(t) 對于任意給定的速度設定值vr(t) 的漸近跟蹤控制，即由式(27)表示為

3 風機速度漸近跟蹤控制的仿真實驗

對提出的控制方案進行仿真實驗，根據式(25)的逆變換，應用速度控制器u，可以得到風機速度控制閉環系統，由式(28)表示為

圖3 設定速度vr = 1 時，風機系統及參數估計與時間的響應圖

圖4 設定速度vr=sin(0.5πt)時，風機系統及參數估計與時間的響應圖

圖5 風機系統在兩種不同設定速度下跟蹤誤差與時間的響應圖

由圖3(a)、4(a)和5 仿真結果可知，在電機參數存在不確定性和轉動負載為非線性函數的情況下，對于給定的設定速度為常數和正弦類時變函數，通過設計的輸出電壓可以使得風機轉速達到設定速度并保持穩定狀態。 由圖3(b)和(d)可知，在設定速度vr =1 時，穩態電流和穩態輸入電壓分別穩定在常數I=1 和u=3。 由圖4(b)和(d)可知，在設定速度vr =sin(0.5πt) 時，如同給定的正弦類設定速度，電流和輸入電壓亦是波動的周期時變信號，這一現象與實際情形相符合。 考慮到系統參數為未知的常數，圖3(c)和4(c) 的仿真結果說明了估計值和穩態亦為常數。

4 結論

根據上述研究結果可得出以下幾點結論:

(1) 針對一類轉動負載為不確定非線性函數的風機速度控制系統，文章引入動態輔助變量對未知常數參數進行估計，應用反步法設計風機速度控制器，使得風機速度控制系統轉化為非線性常微分方程組，利用李雅普諾夫穩定性理論證明了風機轉速能夠實現對任意給定速度的漸近跟蹤控制并達到穩定狀態。

(2) 風機速度漸近跟蹤控制的Matlab 仿真結果驗證了控制理論算法的有效性，并且提出的風機速度控制器方案對風機速度控制系統中存在的未知參數具有良好的穩定性。