Pythagorean猶豫模糊灰色關聯前景多屬性決策方法

包 順，徐 鑫，肖 箭，周禮剛

安徽大學 數學科學學院，合肥 230601

1 引言

多屬性決策是現代決策科學的一個重要研究領域，是從事物的多個屬性出發逐一評價，對這些屬性的評價信息進行綜合分析，并作出最終決策，其理論和方法在工程設計、經濟、管理和軍事等諸多領域中都有著廣泛的應用。

隨著社會經濟環境的不斷復雜化以及人類自身知識水平的局限性，人們對于事物的準確判斷受到了越來越多的限制。因此，自Zadeh[1]于1965 年提出模糊集的概念以來，模糊理論和方法就被廣泛應用于各個領域。在此基礎上，專家學者們又提出了模糊集的若干推廣，如1983年Atanassov[2]提出了由隸屬度、非隸屬度和猶豫度三方面信息組成的直覺模糊集；Torra[3]于2010年進一步拓展了模糊集，提出了猶豫模糊集的概念，其他形式的模糊集，有區間直覺模糊集[4]、Pythagorean模糊集[5-7]等。

作為Pythagorean 模糊集與猶豫模糊集的一種結合形式，Pythagorean猶豫模糊集既能反映出決策者主觀的猶豫不決，又能拓展直覺模糊集中隸屬度與非隸屬度的范圍，能夠充分地刻畫出現實生活中的不確定性和模糊現象，具有廣闊的發展前景。目前對Pythagorean 猶豫模糊集的研究較少，如文獻[8]提出了Pythagorean 猶豫模糊集的相關測度，文獻[9]選取了正負理想解作為參考點，利用Pythagorean 猶豫模糊歐式距離測度表示各個方案偏離正負理想解的大小，并將TOPSIS 方法應用在Pythagorean 猶豫模糊集，文獻[10]提出一種基于Pythagorean 猶豫模糊交叉熵的多屬性群決策方法。文獻[11]提出了一種基于前景理論的Pythagorean 猶豫模糊不確定語言ELECTRE多屬性決策方法。

Kahneman[12]將心理學和行為經濟學相結合，提出了前景理論和累積前景理論[13]，為處理不確定性決策問題提供了一個新的方法。前景理論也廣泛應用在模糊偏好關系[14]、語言決策環境[15]等領域。

灰色關聯分析（GRA）方法自提出以來，便在多屬性決策問題中得到了廣泛的應用。如文獻[16]提出了基于二元語言模型的不完全屬性權重信息下的灰色關聯分析方法，文獻[17]提出了直覺模糊環境下的灰色關聯分析方法，文獻[18]提出了一種基于群灰色關聯分析的化工生產設備故障診斷方法等。

本文在上述研究的基礎上，將前景理論和灰色關聯方法引入Pythagorean 猶豫模糊多屬性決策，提出了基于前景理論的Pythagorean猶豫模糊灰色關聯多屬性決策方法，并通過實例驗證了該方法的有效性和合理性。

2 預備知識

定義1[19]設X是給定的論域，則F={x,F(hF(x),gF(x)) |x∈X}稱為X上的Pythagorean 猶豫模糊集，其中hF(x)和gF(x)是區間[0,1]上的非空有限子集，分別表示元素x屬于F的隸屬度與非隸屬度，并且滿足：0 ≤μ,v≤ 1,0 ≤(μ+)2+(v+)2≤ 1，這里對于任意的x∈X，有：

設f=F(h,g) ，f1=F(h1,g1) 和f2=F(h2,g2) 為 3 個Pythagorean猶豫模糊數，則有如下運算法則[9]：

定義2[19]設f=F(h,g) 是一個Pythagorean 猶豫模糊數，則稱：

為f的得分函數，其中#h和#g分別表示隸屬度集合h和非隸屬度集合g中元素的個數。

在對Pythagorean 猶豫模糊數的大小進行比較時，不同的Pythagorean猶豫模糊數其隸屬度集合與非隸屬度集合內的元素數目可能不等。例如，有兩個Pythagorean猶豫模糊元分別為：

易知#h1=3,#h2=2,#h1≠#h2,且#g1=2,#g2=3,#g1≠ #g2。

定義3[20]設f1=F(h1,g1),f2=F(h2,g2)為兩個Pythagorean猶豫模糊數：

（1）若#h1＞#h2，則對h2進行擴充，增加#h1-#h2個元素，增加的元素均為：

（2）若#h1＜#h2，則對h1進行擴充，增加#h2-#h1個元素，增加的元素均為：

（3）若#g1＞#g2，則對g2進行擴充，增加#g1-#g2個元素，增加的元素均為：

（4）若#g1＜#g2，則對g1進行擴充，增加#g2-#g1個元素，增加的元素均為：

這里ζ∈[0,1]。特別地，當ζ=1 時，增加的元素取該隸屬度（非隸屬度）集合中最大的隸屬度（非隸屬度）值；當ζ=0 時，增加的元素取該隸屬度（非隸屬度）集合中最小的隸屬度（非隸屬度）值；當ζ=0.5 時，增加的元素取該隸屬度（非隸屬度）集合中最大的和最小的隸屬度（非隸屬度）值的算術平均值。

稱由上述方法擴充的Pythagorean 猶豫模糊數為標準化的Pythagorean猶豫模糊數。

定義4[9]設f1=F(h1,g1),f2=F(h2,g2)為兩個標準化的Pythagorean猶豫模糊數，則f1和f2之間的Pythagorean猶豫模糊歐氏距離可以定義如下：

其中，#h=#h1=#h2且和分別為f1和f2中第k大的隸屬度和非隸屬度，π1和π2分別為f1和f2的猶豫度，可表示如下：

灰色關聯方法[21]是一種衡量曲線形狀相似性的方法，曲線形狀越接近，序列之間的關聯度越大。通過灰色關聯分析，最優方案應是與正理想解有著最大的灰色關聯度，而與負理想解有著最小的灰色關聯度。

定義 5設均表示 Pythagorean 猶豫模糊向量，且1,2,…,m,j=1,2,…,n)均是Pythagorean猶豫模糊數，則稱：

前景理論[22]是在“有限理性”的基礎上，反映決策者的主觀風險偏好的一種決策方法。在前景理論中，價值函數和概率權重函數共同決定了前景價值。價值函數是決策者根據實際收益或損失所產生的主觀感受的價值[23]。

在前景理論中，決策者是根據參考點來評估各個方案的收益和損失情況的。因此，參考點的選擇密切影響著決策結果，其選取一般由決策者根據自己的風險偏好決定。許多學者選取零點[24]、中位數[25]、各屬性的期望值[26]或者正負理想解[27-28]為決策參考點。本文在Pythagorean猶豫模糊多屬性決策問題中以正負理想點作為決策參考點，根據灰色關聯度來定義各個方案與正負理想解之間的偏差，從而定義了Pythagorean 猶豫模糊環境下的前景價值函數。

定義6設f1=F(h1,g1)，f2=F(h2,g2)為兩個標準化的Pythagorean 猶豫模糊數，若f2為決策參考點，則f1的前景價值函數為：

其中，dE(f1,f2)表示f1偏離f2的大小；α和β反映了決策者對收益和損失的敏感性程度；θ表示損失區域比收益區域更陡的特征，θ ＞1 表示損失厭惡。

3 基于前景理論的Pythagorean 猶豫模糊灰色關聯多屬性決策方法

考慮一個Pythagorean 猶豫模糊多屬性決策問題。其中：X={x1,x2,…,xm}(i=1,2,…,m)為方案集，C={c1,c2,…,cn}(j=1,2,…,n)為屬性集，設屬性權重為ω=(ω1,ω2,…,ωn)T,且滿足由于客觀事物的復雜性以及決策者自身知識水平的局限性，決策者在決策過程中對某些方案及屬性的評估可能會出現不同程度的猶豫不決。因此，設方案xi在屬性cj下的評估值fij=F(hij,gij)，其中隸屬度集合hij=，非隸屬度集合表示猶豫模糊數hij中元素的個數，#gij表示猶豫模糊數gij中元素的個數，且i=1,2,…,m，j=1,2,…,n。

基于前景理論的Pythagorean 猶豫模糊灰色關聯多屬性決策方法的步驟如下：

步驟1構造樣本數據的Pythagorean猶豫模糊決策矩陣F：

步驟2取ζ=0.5，利用定義3 將矩陣F標準化，使得#h=#hij且#g=#gij，得到標準化之后的Pythagorean猶豫模糊決策矩陣：

步驟3確定方案的正理想解和負理想解分別為：

其中，h+和h-中元素的個數均為#h，g+和g-中元素的個數均為#g。

步驟4通過式（4）分別計算各備選方案xi與正理想解x+之間關于屬性j的灰色關聯系數值，與負理想解x-之間關于屬性cj的灰色關聯系數值。

步驟5計算各備選方案xi在屬性cj下與正理想解之間的差異值，與負理想解之間的差異值若D(xi,x+)表示方案xi與正理想解x+之間的差異集，D(xi,x-)表示方案xi與負理想解x-之間的差異集，則：

表1 Pythagorean猶豫模糊決策矩陣F

表2 標準化的Pythagorean猶豫模糊決策矩陣Fˉ

步驟6根據前景理論中價值函數的特征可知，若以正理想解為參考點，則各個方案相對于正理想解是損失的;反之，若以負理想解為參考點，則各個方案相對于負理想解是獲益的，則可構造負前景價值函數：

正前景價值函數：

步驟7計算每個方案的收益損失比，即

步驟8按照Di(i=1,2,…,m)的大小對方案進行排序，Di值越大，方案越優。

4 案例分析

能源發展戰略正成為世界各國共同關注的話題[29-30]。在不確定性和風險環境下，能源項目的選擇是能源發展的關鍵步驟。在能源項目評估中，Xu和Xia[30]總結出四個需要考慮的屬性：（1）c1：經濟因素；（2）c2：技術因素；（3）c3：環境因素；（4）c4：社會政治因素，并給出屬性權重向量ω=(ω1,ω2,ω3,ω4)T=(0.15,0.3,0.2,0.35)T。對于能源項目，假設有5個備選方案X={x1,x2,x3,x4,x5}。在Pythagorean猶豫模糊環境下，邀請專家對這些方案進行評價，構建了Pythagorean猶豫模糊決策矩陣F如表1所示[9]。

根據本文提出的決策方法：

步驟1將F標準化，得到標準化之后的Pythagorean猶豫模糊決策矩陣Fˉ如表2所示。

步驟2根據公式（4）分別計算出各個方案的評價值與正負理想解的灰色關聯系數：

步驟3屬性的權重向量完全已知為ω=(0.15,0.3,0.2,0.35)T，根據公式（8）和（9）可得負前景價值矩陣v-(dE(hij,(hj)+))和正前景價值矩陣v+(dE(hij,(hj)-))分別為：

其中：α=β=0.88，θ=2.25[22]。

步驟4根據公式（10）計算每個方案xi的收益損失比值，如表3所示。

表3 收益損失比值

步驟5按照大小對方案進行排序，可知C5＞C3＞C4＞C1＞C2，因此各方案的排序結果為x5?x3?x4?x1?x2。

利用文獻[9]提出的Pythagorean 猶豫模糊環境下TOPSIS方法，可以計算出各方案的排序值分別為：

從而得到各方案的排序結果為：x5?x3?x4?x1?x2。

為驗證本文提出的基于前景理論的灰色關聯決策方法的合理性和優越性，將本文提出的方法的排序結果與文獻[9]的排序結果進行比較，發現：

（1）本文提出的決策方法計算出的各個方案的排序值的方差v1=0.024 5，文獻[9]中各個方案排序值的方差v2=0.001 7，v1＞v2，所以本文提出的決策方法中各個方案的優劣區分更為顯著，為決策者提供更加強有力的決策依據。

（2）相比單一的TOPSIS方法，基于前景理論的灰色關聯多屬性決策方法不僅刻畫了評價對象與理想解之間的關聯程度，而且引入了前景價值函數，充分考慮決策者的風險偏好，使得決策過程更加細膩，決策結果更加合理。

5 結論

本文應用Pythagorean 猶豫模糊數來描述多屬性決策信息，使得決策信息的表達更加準確細膩，并具有很大的靈活性，降低了決策信息的損失。同時提出了綜合應用前景理論和灰色關聯方法的多屬性決策方法，通過實際案例分析比較，表明本文所提出的決策方法決策過程更加合理，決策結果更具有說服力，具有良好的實踐應用前景。

在未來的研究中，將致力于把Pythagorean 猶豫模糊信息、決策者的心理、傳統的多屬性決策方法三者相結合，并將研究結果應用到模式識別、醫療診斷以及不確定性決策問題中，更加全面細致地探索多屬性決策問題。此外，對于Pythagorean 猶豫模糊群決策問題的探索，也是今后的研究重點。