論十二平均律的科學性

周澤楠

摘要：中國對于律學的研究有著悠久的歷史，在繆天瑞先生的《律學》一書中他就根據中國律學的發展特點，將律學史分為了四個時期。分別是三分損益律發現時期、探求新律時期、十二平均律發明時期和律學研究新時期。而在研究律學史的時候，我們會發現由于其他律制本身存在一些缺陷，十二平均律的出現似乎是必然的，就讓我們通過研究前三個時期的律制來談談十=平均律的科學性。

關鍵詞：律學;三分損益法;十二平均律

春秋戰國時期是三分損益的發現時期。在這個時期內，對于三分損益法最早的記載見于《管子·地員篇》（公元前475-前221年）。管仲在此書中提到：“凡將起五音，凡首，先主一而三之，四開以合九九，以是生黃鐘小素之首，以成宮。三分而益之以一，為百有八，為徵。不無有三分而去其乘，適足，以是生商。有三分，而復于其所，以是成羽。有三分，去其乘，適足，以是成角。”

這段文字從數理的角度將宮、商、角、徵、羽五音的音高進行了說明，用數學公式表示出來就是：

宮1×3-4=81

徵81×4/3=108

商108×2/3=72

羽72×4/3=96

角96×2/3=64

實際上，這個公式計算的是管長，將一根管平分為三等分，長度增加管長的三分之一，則音高比之前低純四度，而減少原管的三分之一，則聲音比原來高純五度。宮商角徵羽構成的五聲調式音階的音高正是根據這管長來決定的。

由于音樂不可能只用五個固定的音高進行創作，隨著古代音樂的發展，人們為了滿足需要，便在五聲調式音階的基礎上繼續使用三分損益法進行生律，加入了變徵和變宮兩個偏音，構成了七聲調式音階。但隨后人們又發現，一旦移動了這幾個固定音的高度，就會造成移調的問題，所以為了能夠旋宮轉調，隨后又生出五律，使一個八度內包含12個音，得到了我國最早的十二律。呂不韋所編撰的《呂氏春秋-音律篇》（公元前239年）對此亦有所記載：

“黃鐘生林鐘……三分所生，益之一分以上生;三分所生，去其一分以下生。黃鐘、大呂、太簇、夾鐘、姑洗、仲呂、蕤賓為上;林鐘、夷則、南呂、無射、應鐘為下。”

書中提到的“上生”是指振動物體的長度增加原先的1/3（即原來的4/3）;而“下生”則是說長度減少1/3（即原來的2/3）。依照這種方式算出的十二律如下：

黃鐘81

林鐘81×2/3 =54

太簇54×4/3 =72

南呂72×2/3 =48

姑洗48×4/3=64

應鐘64×2/3 =42.6667

蕤賓42.6667×4/3=56.8889

大呂56.8889×4/3=75.8519

夷則75.8519×2/3=50.5679

夾鐘50.5679×4/3=67.4239

無射67.4239×2/3=44.9392

仲呂44.9492×4/3=59.9323

清黃鐘59.9323×2/3=39.9549

拿一根琴弦作比較，在它的二分之一處彈奏出來的音與整弦彈奏出的音是一個高八度的關系。因此十二律結束后的十三音清黃鐘與黃鐘的長度比值應該也是二比一，但實際上清黃鐘并沒有達到黃鐘的二分之一（ 39.9549<40.5）。

分析上面的數據我們可以知道，自應鐘開始我們所計算出的管長就是一個無理數，而后的所有數據自然也是基于這個無理數計算得來的，可以說應鐘之后的每一個音都存在誤差，這也就是清黃鐘沒能達到應有長度的原因。

正因此，這一時期的探索給后世留下了一個三分損益法不能旋相為宮的世紀難題。

第二時期是探求新律時期，大約是從公元前3世紀自公元14世紀，并且似乎由于古代數學在公元11世紀到14世紀期間發展到了鼎盛時期，律學的發展也得到了極大的鼓舞。

公元前77年，漢代律學家京房為了解決三分損益法產生的音差問題提出了京房六十律。他在十二律的基礎上繼續用三分損益進行數學演算，從“仲呂”之后向下生律，在推演到到第五十四律“色育”的時候就已經與首音的黃鐘只差六分之一個古代音差，而后又為了符合八卦繼續將之演算到第六十律“南事”。

南宋錢樂之也同京房一樣，他在京房六十律的基礎上又從“南事”再生三百律到了“安運”，最后算出的音差只差三十分之一個古代音差，比“小微音差”（兩音分）還要小。

這兩人雖然沒有完全解決十二律旋宮轉調的問題，但卻將三分損益產生的音差減少到了極致。并且，從六十律計算到三百六十律就將音差從1/6縮小到1/30，在如今這個科技發達的時代，人們利用計算機未嘗不能實現用三分損益反相為宮。當然了，就算能夠實現，這也只建立在理論上能夠解決音差問題，畢竟計算量太大，并不能運用于實際的操作之中。

繼京房與錢樂之之后，人們逐漸意識到使用三分損益法并不能將十二旋宮換于黃鐘，于是轉而在十二律內部解決問題。

南宋律學家何承天可以說是“世界上最早用數學解決十二律的人”①。根據《隋書-音樂志》的記載，公元445年，他公開反對京房六十律，認為“京房不悟，謬為六十”②，并且提出將十二律之間的差數等分為十二份，并將之加在原先的十二律上，得到新律，是首個不使用三分損益法解決音差問題的人，邁出了律學史上新的一步。但是何承天新律也沒有解決旋宮轉調的問題，他將差數等分之后只是將黃鐘與清黃鐘之間變為1：2的關系，與其余的音并不是一個等比的關系，因此轉調時也會移調。

在這個時期之中，關于律學的研究可以說是圍繞解決三分損益產生的音差這一個問題而展開的。六十律、三百六十律與新律三者雖然沒有完全的解決這一問題，但是也為后人的研究也提供了許多思路。

16世紀，是十二平均律的發展時期，明朝的朱載堉在《律歷通融》（1581年）中提出了“新法密率”。他先將舊三分損益法中的分母縮小，求得十二律里面的五度與四度的比值，然后依照生律順序求出十二平均律，而這樣求出的十二律與今天的十二平均律完全一致。可以說這就是我國最早計算出的完全準確的十二平均律。

此后朱載堉在1596年編著的《律呂精義》一書里面，又將如何利用勾股定理和開方求得新法密率的計算方式進行了詳細的論述。他先將十二律等分為十二份，之后將純八度開平方，算出蕤賓的頻率比為1.41421356（原朱載培將之計算到小數點后二十多位，這里只寫到第八位），再由蕤賓開方得到南呂1.18920711;最后得到應鐘1.05946309。這里我們就可以得出兩個相鄰的音的頻率比為（約為1.0594631）。

由相鄰兩音之間的比我們可以算出十二律每個音的頻率比為：

黃鐘1

大呂 1.105964

太簇1.122462

夾鐘1.189207

姑洗1.259921

仲呂 1.334839

蕤賓1.414213

林鐘1 498307

夷則1.587401

南呂1.681792

無射1.781797

應鐘1.887748

由于每半音之間的比值一致，明代朱載堉發明的十二平均律徹底解決了三分損益法不能旋宮轉調的問題。

十二平均律更具有科學性主要體現在：1.轉調上，十二平均律每個半音之間間隔一致，以任意一個音為首音都能構成平均律，因此轉調更為方便;2.計算上，十二平均律以1.0594631的比值可以求出所有的音，比起三分損益法要更精確與簡便。

當然，十二平均律也有他的不足之處，比如在和聲上他沒有純律那么和諧，在單音音樂上也沒有三分損益自然協調，但十二平均律在轉調上的優勢則是無可取代的。

注釋：

①繆天瑞《律學》.

②《隋書·律歷志》“上下相生，三分損益其一……而京房不悟，謬為六十，”