利用函數不等式解高考函數題的策略分析

摘?要：在近幾年的高考題中，活躍著一類與自然底對數有關的不等式，其中有一部分題目通過等價變形最終可以轉化為常見的對數函數不等式：1-1/x≤lnx≤x-1（x>0）（以下統一稱之為對數函數不等式）。這類問題因綜合性強、立意新穎、構思巧妙、技巧性高等特點愈加得到命題者的青睞，且常作為各類試卷的壓軸題出現，但學生往往因為理不清條件之間的關系，找不到解決問題的入口而陷入困境，文章擬對這類問題加以探究、總結，希望找到解決這些問題的規律，并對教師課堂教學形成一定的啟發。淺薄觀點，敬請同行指正。

關鍵詞：函數不等式;高考;函數題

一、 知識理解

對數函數不等式因其思維巧妙、形式簡潔，因此經常滲透于各種函數模型中考查學生的數學素養，但也因為其隱秘性導致解題時對化歸轉化的數學思想要求較高，部分同學對這類題型望而卻步，導致得分率都不高。事實上，教學時，可以以對數不等式為基礎，通過理論證明、直觀解釋，幫助同學抓住問題的本質，在解答時從宏觀角度把握解題方向，有時會起到事半功倍的效果。

點評：本題為2013全國新課標Ⅱ卷的壓軸題，不僅考查函數、不等式等有關的傳統知識和方法，而且還考查導數等工具的掌握和靈活運用。本題第（1）問設計數形結合思想，從而迅速求得f（x）的單調區間，但第二問若用同樣方法或者通過構造函數尋找最值證明，顯然碰到了復雜運算，其中f′（x）=0更是超越方程，一般無法直接求解。但若用對數函數不等式證明，思路明確，過程簡捷，淡化繁難技巧，解法過程一氣呵成，真正實現“大題小做”，數學之精妙溢于言表。因此本題可充分考查考生的數學思維品質，符合新課改的精神，是難得的好題。

數學問題千變萬化，解法靈活多變，即便是同一道題，也有多種解題切入點。教師在追求問題能被解決的同時，不要拘泥常法、不恪守常規，應善于開拓、變異、發散，從多角度、多方位、多途徑進行解答，合理運用轉化思想，尋找最優途徑。如文章例3、例6從正面直接入手很難取得突破，而如果對問題的形式稍做轉化，從側面入手，問題便會迎刃而解，因此在解題中我們需要靈活應用轉化思想，從而達到化難為易、化繁為簡、化未知為已知、化陌生為熟悉的目的。適時地進行一題多解的展示，能培養學生的思維能力、激發學生的探究熱情，同時這些解題策略和方法之間必定有繁簡優劣之分，教師在講評時引導學生對比分析，一定能加深學生的體會，從而優化學生的解題思路和解題方法。而所有的這一切都是為了形成探索性的學習方式，培養學生的創新意識和實踐能力。

總之，數學題目是永遠出不完，也是永遠做不完的，但是，如果善于運用變式，在變式中掌握一類問題的解法，則會以少勝多，大大提高教學的效率、消除和防止因思維僵化、想法呆板而帶來的問題。如，文章中對數函數不等式的三個變形體現的是同一個數學本質（幾何解釋可說明），但形式的差異可以激發學生學習數學的興趣及對數學本質的理解，從而在解決不同類型的題目時能以不變應萬變。當然，變式不宜太多，否則學生將會陷入對數量繁多的變式的辨析中，忽視了知識的本質，難以掌握知識的來龍去脈。建議在教學中安排的例題、習題的變式時應注意設計結論的發生情境，重視公式、結論等的形成過程，讓學生自己去歸納概括。這不僅加深了學生對公式、結論的認識和記憶，而且能提高學生的概括水平、思維能力，提高數學思維的品質。

點評：本題是2011年普通高考湖北理科試卷壓軸題（第21題），以函數不等式立意，主要考查函數、導數、不等式的證明等基礎知識，同時考查綜合運用數學知識進行推理論證的能力，滲透化歸、轉化的思想。題目起點低，落點高，綜合性強，通過三個問題逐層推進，難度逐步提高，全面檢測考生的觀察、試驗、聯想、猜測、類比、探究等思維品質，考題蘊含豐富的潛在價值。解法中對數函數不等式的使用可謂匠心獨運，數學簡捷美的本質所帶來的震撼令人意猶未盡。

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作者簡介：

王成焱，福建省廈門市，福建省廈門雙十中學。