統計試題得分低的原因與應對策略
——以2020 年福建省質檢理科第20 題為例

王淼生 黃 勇

（1.廈門第一中學，福建 廈門 361003；2.福建教育學院數學研修部，福建 福州 350025）

一、試題呈現

為貫徹落實黨中央全面建設小康社會的戰略部署，某貧困地區的廣大黨員干部深入農村積極開展“精準扶貧”工作.截至2018 年年底，按照農村家庭人均年純收入8000 元的小康標準，該地區僅剩部分家庭尚未實現小康.2019 年7 月，為估計該地區能否在2020 年全面實現小康，統計了該地區當時最貧困的一個家庭2019 年1 月至6 月的人均月純收入，作出散點圖如下：

根據相關性分析，發現其家庭月純收入y與時間代碼x之間具有較強的線性相關關系（記2019 年1 月，2 月…分別為x=1，x=2，…，以此類推），由此估計該家庭2020 年能實現小康生活.但2020 年1 月突如其來的新冠肺炎影響了奔小康的進展，該家庭2020 年第一季度每月的人均純收入只有2019 年12 月的預估值的（I）求該家庭2020 年3 月份的人均月純收入；

（II）如果以該家庭3 月份人均月純收入為基數，以后每月的增長率為a，為使該家庭2020 年能實現小康生活，a至少應為多少？（結果保留兩位小數）

二、命題宗旨

本題是一道典型的統計綜合試題，主要考查線性回歸方程、等比數列（通項與求和）、函數單調性（導數應用）及不等式求解等基礎知識.滲透方程與函數、轉化與化歸、分類與討論及數形結合等數學思想.考察抽象概括、推理論證、運算求解及數據處理等能力，尤其應用數學知識解決實際問題的能力.培養數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算及數據分析等核心素養.

三、規范解答

（一）對于（I）來說

相關數據代入上述公式得到

（二）對于（II）來說

設該家庭2020 年人均月純收入為數列{an}（n=1,2,3,…,12），則a1=a2=a3=500.依題意可知從3 月份起該家庭人均月純收入構成以a3=500 為首項、公比為1+a的等比數列.要使該家庭2020 年能夠實現小康生活，則需要滿足：

因“結果保留兩位小數”，同時要滿足實際問題，故a≥0.08，即以后每月增長率為8%，該家庭2020 年才能實現小康生活.

注：以上為筆者的詳細解答過程.命題專家提供的參考答案中沒有呈現（1）中的論證過程，而是直接列出算式：f(a)≥f(0.15)=(1+0.15)10-14 × 0.15-1 ＞0，這顯然不夠嚴謹.嚴謹性是數學的最重要特征，尤其解答題更是如此.

四、剖析得分率低的原因

近年來，統計（或概率統計）綜合題是考試的熱點、重點、難點，并有逐年加大考查力度的趨勢.這類試題不僅文字篇幅較長、信息含量很大、符號圖表密集，而且閱讀理解困難、運算過程復雜、參考數據冗長、參考公式繁雜，不少考生害怕甚至放棄.數據表明本題得分率較低（本題滿分12 分，以廈門地區為例，全市均分2.4 分）.為何得分如此之低？問題癥結原因何在？

（一）盲目講題，輕視閱讀

不少教師急于解題，追求短、平、快節奏，沒有培養學生閱讀的意識.學生連基本題意都不清楚，教師就已經開始滔滔不絕，學生云里霧里，不知所措.教師應該首先引領學生閱讀，尤其關注核心詞.比如本題中小康標準、家庭人均年純收入、家庭人均月純收入、散點圖、時間代碼、線性相關關系、預估值、增長率、保留小數、參考數據及參考公式等.

（二）依賴課件，輕視板書

毋庸置疑，多媒體（課件、投影、視頻、音頻等）確實為數學教學帶來了不可或缺的作用.但是一味地依賴課件，一閃而過，也是導致學生難以深入領悟統計試題的因素.教師應該將整個運算過程清晰地板書在黑板上，甚至有些關鍵環節，還需要給予特寫“鏡頭”.只有這樣，學生才能有充足的時間、足夠的空間，用眼觀看，用手操練，用心琢磨.

（三）追求數量，輕視質量

為了搶進度、趕速度，不少教師一節課動輒講解5～6 道統計（或概率）綜合試題，更有甚者一口氣講9～10 道，這種一味追求數量的蜻蜓點水式解題教學，教師看似口若懸河、滔滔不絕，課堂似乎此起彼伏、熱鬧非凡，學生實則收效甚微，甚至一無所獲.倒不如踏踏實實講解1 道或2 道試題，效果更好.

（四）浮于表面，輕視抽象

史寧中教授認為，通過抽象，人們把現實世界中與數學相關的東西抽象到數學內部，形成數學的研究對象.統計試題貼近生活，需要教師在適度去生活化、去情景化的過程中實現數學抽象，回歸數學本質，這是解決統計（概率）問題的必由之路.讓學生感悟數學的抽象過程，體會具體與抽象之間的差異，積累從具體到抽象的數學活動經驗，形成數學抽象素養.缺少抽象，浮于表面，機械套用公式解題沒有價值.

（五）只顧計算，輕視運算

不少教師以為統計題就是加減乘除、乘方開方等數學計算而已.其實，統計學更多的是數學運算.一字之差，天壤之別.數學運算歷來是課程和教學的重點內容.數學運算并不僅僅是數學計算，也不能理解為一般的數學計算.這就是為何課標［1］將數學運算作為六大核心素養之一，而不是數學計算.數學運算是在理解運算對象基礎上，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，實施運算流程，最后才能求得運算結果.

（六）關注結果，輕視建模

在抽象的基礎上，用數學語言表達問題，用數學知識、數學方法分析并解決問題.統計題源于生活，需要建立恰當的數學模型.數學建模過程主要包括：在實際情景中從數學視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題.教師沒有向學生充分展示建模過程及數學模型，求解就猶如空中樓閣、海市蜃樓.

五、應對策略

章建躍博士在其文中憂心忡忡地警示：“通過調查研究以及收集的數據統計結果表明，縱使是處于金字塔頂部的重點高中數學教師，他們的概率統計知識儲備嚴重不足，80%以上的教師對大部分概率統計基本概念的認識都處于模糊狀態，理解深度不夠，缺乏用這些概念答疑解惑的能力，影響概率統計知識的教學效果.”［2］

對于一線教師，要想達到深度理解概率統計基本概念的境界，絕非一朝一夕，還需從長計議，逐步提高.但是，至少目前可以在強化閱讀、落實細節、滲透思想、培養素養，尤其在恢復心態等方面做得更好一些.

（一）強化閱讀

教師要有意識地培養學生良好的閱讀習慣，遵循通讀（整體瀏覽、了解概況：統計模塊、線性回歸、數列求和等）→深讀（把握方向、構建框架：“出場”順序、推導公式、運算求解）→精讀（關鍵信息、抽象概括、精準建模）流程.對于有些試題，甚至需要多次通讀→深讀→精讀，達到螺旋上升.其中關鍵在于精讀，以本題為例，精讀包括：

1.讀懂“散點圖”信息：依據2019 年1 月至6 月的人均月純收入作出，散點圖僅僅精準看出x而不能得到y的確定值，如何求解呢？

2.清楚“小康標準”含義：農村家庭人均年純收入8000 元，也就是說12 個月中每個月的純收入之和不小于8000 元，如何計算呢？

3.明確“時間代碼”意義：2019 年1 月，2 月…分別為x=1，x=2，…，以此類推.2020 年3 月份的人均月純收入可以看作x=15 對應的預估值嗎？

4.理解“線性相關”關系：家庭月純收入y與時間代碼x之間具有較強的線性相關關系，也就是說需要依據散點圖求出線性回歸方程，如何求解呢？

6.使用“參考數據”時機：為何列出一連串的參考數據？如何使用這些參考數據？何時使用這些參考數據？這些參考數據僅僅用于計算嗎？對探究運算方向有何引領作用？為數學建模做了何種鋪墊呢？

（二）落實細節

“細節決定成敗.”與其狂轟亂炸，倒不如講透一道試題更有效.筆者整整花了一節課才把此題講解清楚.那本題該如何講評呢？

1.“出場”順序——求解線性回歸方程是一個“組裝”過程求解回歸直線是多種“零配件”“組裝”過程.既然“組裝”，就應該安排好“零配件”“出場”順序.如何確定與“出場”次序呢？為何首先需要求出與？如何求？怎樣得到？涉及的公式有幾個？本題借助哪個公式才能求？提供的公式是否能夠求出？如何推導另一個公式求？兩個公式有何差異？的含義是什么？的作用是什么？求出目的何在？筆者閱卷發現，絕大部分學生東一榔頭西一棒，缺胳膊少腿現象普遍存在.

2.善待公式——借力參考公式是確定運算方向的摸索過程

命題專家為何給出參考公式：(1+a)n≈1+？這個參考公式有何作用？為何不直接使用學生熟悉的二項式定理而專門給出這個參考公式？目的何在？可以不“搭理”這個參考公式而直接使用二項式定理嗎？為何給出限制條件：n≥10？限制條件：|a|＜0.15 意味著什么？如何創造“機會”靠近這個條件？這個參考公式為后續運算指點了什么方向？怎樣使用這個參考公式？何時使用這個參考公式？筆者閱卷發現，絕大部分學生不善于或根本不會使用這個參考公式，導致前功盡棄.

3.回歸實際——尋求增長率是“多兵種”數學建模過程

統計學就是研究如何搜集、整理、分析生產、生活中的數據以及由數據分析結果作出科學決策.增長率a意味著什么？建立何種數學模型？等比數列公比q與增長率有何關聯？為何a=1+a而不是q=a？等比數列首項為何不是a1而是a3？求解結果如何回歸實際問題？如何滿足實際問題？筆者閱卷發現，縱使少數學生計算得到a≥0.07，純粹從純數學“四舍五入”而沒有兼顧實際問題來處理“結果保留兩位小數”，導致最后增長率是7%而不是8%.

（三）滲透思想

數學思想是數學靈魂，是數學知識在更高層次上的抽象和概括，是知識轉化為能力的橋梁，它對學生認知結構的發展起著重要作用.本題滲透了方程與函數、轉化與化歸及數形結合等數學思想，尤其分類與討論思想.分類與討論思想大致分為兩類，一類是數學概念自身需要分類，比如指數、對數的底數a分a＞1 及0 ＜a＜1，等等.這類是常見的，學生基本掌握.另一類則是因為運算或者化簡需要，這一類往往與運算對象、方法選擇有關，并常常為數學運算指明方向.比如，面對高次（10 次）不等式①：(1+a)10-14a-1≥0，必須降次.如何降次？如果采用學生熟悉的二項式定理展開，其本質仍然還是高次（10 次），于是只能尋求命題專家給出的參考公式：(1+a)n≈1+.能夠直接利用這個參考公式嗎？不能！為什么？因為首先要滿足使用公式的先決條件：|a|＜0.15，于是順理成章地進行分類：|a|＜0.15 及|a|≥0.15.這類分類討論在統計（概率）綜合試題的運算中體現得淋漓盡致.

（四）培養素養

統計（概率）試題綜合考查學生用數學眼光觀察問題、用數學思維分析問題、用數學語言表達問題、用數學知識解決問題的絕佳素材，是全面落實立德樹人、發展素質教育的具體案例，是優化數學思維品質、培養數學學科核心素養的典范，這正是近年來統計（概率）試題成為高考熱點、重點的緣由，更是逐年加大考查力度的依據.以本題為例，數學建模（等比數列、構造函數等）；數據分析（保留小數、回歸實際等）；數學運算（等比求和、解不等式等）；邏輯推理（證明遞增函數、推導公式等）；直觀想象（由圖思數：散點圖；從數想式：由參考數據：≈62.81，聯想到一元二次方程（或不等式）的判別式）.其中，數學抽象則貫穿于數學建模、邏輯推理、數學運算、數據分析及直觀想象整個過程.

（五）恢復心態

客觀地講，本題并非新題，只是重新包裝而已，這類試題比比皆是，如2015 年全國卷I 理科第19 題與本題極其相似.其實，本題難度并不是很大，為何得分率如此之低？筆者通過問卷調查發現，不少學生心里害怕統計試題，看到大量文字、符號、圖表就直接放棄，這也是造成得分極低的關鍵原因.長期以來，學生屢考屢錯，教師屢錯屢講；學生一錯再錯，教師大講特講，形成怪圈：錯了再講，講了再考，再考又錯，錯了再考.教師疲于講解，學生被動應付.“心態決定一切.”學生長期堆積起來的厭煩心情、害怕心理、逃避心態，急切需要教師和風細雨地促膝溝通，急切需要情真意切地心靈安撫，急切需要教師踏踏實實地細膩講解，率領學生一點一點、一步一步、一次一次地走出困境.隨著教師教學策略的優化、專業素養的提升，隨著學生心態的調整、信心的恢復，相信學生一定能夠敢于正視統計試題，善于解決統計試題.