對霍爾效應實驗系統誤差的探究

魏國榮 薄永紅

摘要：內燃機車電傳動控制電路的檢測速度和有效性，直接影響到內燃機運行的可靠性。本文介紹的霍爾效應實驗系統誤差研究，從理論上講測量霍爾電壓系統誤差主要是由于愛廷豪森效應、能斯脫效應、里紀-勒杜克效應和不等位電勢差四個副效引起的，本文在對稱法和交流法兩種測量方法的基礎上，推導出測量計算公式，并通過測量數據做了相對誤差計算和分析，說明了它們的影響程度。

關鍵詞：霍爾效應;愛廷豪森效應;能斯脫效應;里紀-勒杜克效應

中圖分類號：O4-34? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-957X（2020）24-0001-04

0? 引言

內燃機車電傳動控制電路故障檢測及自動處理，可以快速故障定位、自動應急處理，消除行車隱患，維持機車內燃機正常運行。在內燃機車電氣系統的控制特點布線十分復雜，可靠性差，部分觸頭因裸露結構，容易發生因落灰后接觸電阻過大，發生虛接、開路等故障。機車運用過程中發生電器聯鎖故障后查找判斷困難，給行車組織帶來較大影響。本文研究的霍爾效應實驗方法，是高校理工科基本實驗之一，無論是作為普通物理實驗[1]還是近代物理實驗[2]測量霍爾片的霍爾電壓是實驗的關鍵。

由于在霍爾效應中，還伴隨著愛廷豪森效應、能斯脫效應、里紀-勒杜克效應和不等位電勢差等副效應，這些副效應對霍爾電壓的測量帶來系統誤差。在實驗室里，消除這些系統誤差常用的方法是用對稱法，即通過換向器來改變通過霍爾片的工作電流方向和磁感應強度方向。霍爾效應已在自動化技術、測量技術、智慧城市建設和人工智能等領域里有十分重要的應用。而在實際使用中，不可能像實驗室里采用一些方法來消除這些副效應的影響，要減小或消除它們的影響，可以從兩方面著手，一是在制造方面，應提高制造工藝水平;二是在使用方面，應設計附帶電路，加以修正。要做到這兩點，知道這四個副效應產生的系統誤差變的十分重要。本方擬對霍爾效應中，各副效應引起的電壓對霍爾電壓測量產生的系統誤差進行理論和實驗方面的研究，推導出它們誤差的計算公式，并通過實驗測量數據計算出它們的誤差，說明它們的影響程度。

1? 回顧理論

1.1 霍爾效應公式[1]

式中VH為霍爾電壓，KH為霍爾片的靈敏度，它反映產生霍爾電壓的能力，單位為mV·mA-1·T-1，Is是通過霍爾片的工作電流，B是垂直穿過霍爾片磁場的磁感應強度。

從式（1）中看出，霍爾電壓的大小與工作電流和磁感應強度的乘積成正比，其方向與工作電流和磁感應強度的方向均有關系，當工作電流和磁感應強度的方向改變時，霍爾電壓的方向均要改變。

1.2 愛廷豪森效應

在霍爾效應中，愛廷豪森效應產生的電壓與工作電流和磁感應強度之間的關系式為[2]：

式中VE是愛廷豪森效應產生的電壓，其值與工作電流和磁感應強度的乘積成正比，而方向和霍爾電壓一樣，與工作電流和磁感應強度的方向均有關系。

1.3 能斯脫效應

在霍爾效應中，能斯脫效應產生電壓的關系式為[2]：

式中VN是能斯脫效應產生電壓，Q是由于霍爾片兩端連接工作電流的電極觸點電阻有差異，當電流通過霍爾片時，由于焦耳熱不同，使霍爾片兩端有溫度差，產生的熱流，其流向與觸點電阻值差異有關，而與工作電流方向無關。可見，能斯脫效應產生電壓的方向僅與磁感應強度方向有關，而與工作電流方向無關。

1.4 里紀-勒杜克效應

在霍爾效應中，里紀-勒杜克效應產生電壓的關系式為[2]：

由此可見，里紀-勒杜克效應引起的電壓VRL的方向與能斯脫效應一樣，僅與磁感應強度的方向有關，而與通過霍爾片的工作電流方向無關。

1.5 不等位電勢差

不等位電勢差是由于霍爾片將霍爾電壓輸出的電極非完全相對應和霍爾片本身純度及形體不均勻等因素導致的，這與制作工藝有關，其大小還與工作電流Is的大小有關，若給霍爾電壓輸出的兩電極間的縱向一個電阻值Rd，則根據歐姆理論，不等位電勢差Vd為：

可見，不等位電勢差Vd僅與工作電流Is有關，而與磁場無關，其電壓方向隨工作電流方向的改變而改變。

2? 系統誤差計算公式

2.1 測量方法

2.1.1 對稱法

從式（2）、式（3）、式（4）中看到，能斯脫效應、里紀-勒杜克效應和不等位電勢差產生電壓的方向或與工作電流方向有關，或與磁感應強度方向有關，而霍爾電壓的方向與工作電流和磁感應強度的方向均有關系，故在實驗室里，常采用改變工作電流和磁感應強度方向（實驗中用改變勵磁電流的方向來改變磁感應強度方向的），來消除它們影響的（忽略愛廷豪森效應的影響），這種方法把它稱之為“對稱法”，分析過程如下。

根據式（1）、式（3）、式（4）和式（5）得：

可見，采用對稱法測量，霍爾電壓的測量值VH-m用下式：

來計算，這樣就消除了能斯脫效應、里紀-勒杜克效應和不等位電勢差對霍爾效應的影響。

需要說明的是，用式（6）計算結果若是正值，表明霍爾電壓的實際方向與假設方向相同，若是負值，表明霍爾電壓的實際方向與假設方向相反。

2.1.2 交流法

由式（1）和式（2）看到，愛廷豪森效應產生的電壓VE與霍爾電壓VH一樣，均與通過霍爾片的工作電流和垂直穿過霍爾片的磁感應強度乘積成正比，當工作電流和磁感應強度的方向改變時，愛廷豪森效應產生的電壓和霍爾電壓的方向均要改變，若考慮到愛廷豪森效應的影響，測量霍爾電壓的計算式（6），應變更為：

所以不能采用對稱法來消除愛廷豪森效應對霍爾效應的影響。

由于霍爾效應的建立所用時間很短（大約在10-14～10-12秒內[3]），而穩定的溫度差的建立需要時間較長（約幾秒[2]），所以只要通過霍爾片的工作電流用交流電即可，例用0.02秒的工頻電流，在0.01秒內，霍爾效應已十分穩定，而溫度差還沒有建立，電流方向就開始反向了，這樣就基本保證了霍爾片上下兩側溫度的均勻，消除了愛廷豪森效應對霍爾電壓的影響，當然此時的霍爾電壓也是交變的，應用交流電壓表來測量。

從式（3）看到，能斯脫效應由熱流引起，而熱流與工作電流方向無關，所以雖然工作電流是交流電，能斯脫效應產生的電壓仍是直流電壓，它的方向僅隨磁場方向的改變而改變，用交流電壓表測量時，它對交流電壓表的示數沒有貢獻。

同樣，里紀-勒杜克效應也是由熱流引起，所以里紀-勒杜克效應引起的電壓同樣是的直流電壓，用交流電壓表測量時，它對交流電壓表的示數同樣沒有貢獻。

但是，當工作電流用交流電時，根據式（5）看出，不等位電位差也是交流電壓，所以，它已不能用改變磁場方向的方法來消除它的影響，由于不等位電位差的大小與磁場的磁感應強度大小無關，所以實驗中可以使磁場的磁感應強度取零（斷開勵磁電流的開關）時，霍爾電壓已經變為零，所以測得的電壓值就是不等位電位差。

綜上所述，當工作電流用交流電時，并不需要換方向，測二次就行了，比用直流電來測量簡單，具體方法如下：

①當磁感應強度B≠0時，有：

式中，不等位電位差Ud取向有正負之分，若Ud和UH是同相位，應取正;若Ud和UH是反相位，應取負。實驗中要知道它們是同相位還是反相位，要等在對稱法測量中，計算出的不等位電位差Vd-m與霍爾電壓VH-m是同向還是反向才能確定。

②當磁感應強度B=0時，有：

顯然，霍爾電壓的測量值為：

式中正負號的選取和上面的道理是一樣的，它們若同相位，應取負，反之取正。

2.2? 誤差計算公式

2.2.1 能斯脫效應、里紀-勒杜克效應的誤差計算

根據對稱法測量，因為：

可見在對稱法測量中，計算能斯脫效應與里紀-勒杜克效應產生的電壓值之和計算式為：

式中，若計算結果是正值，表明能斯脫效應與里紀-勒杜克效應電壓之和的實際方向與假設方向相同，若是負值，表明電壓的實際方向與假設方向相反。

與霍爾電壓相比，產生的相對誤差為

2.2.2 不等位電勢差的誤差計算

根據對稱法測量，因為：

可見在對稱法測量中，計算不等位電勢差的計算式為：

同樣，計算結果若是正值，表明不等位電勢差的實際方向與假設方向相同，若是負值，表明不等位電勢差的實際方向與假設方向相反。

與霍爾電壓相比，產生的相對誤差為：

在交流法中，不等位電勢差的相對誤差計算要簡單得多，計算式為：

2.2.3 愛廷豪森效應的誤差計算

對愛廷豪森效應引起的誤差只能做粗略的估算，在工作電流用交流電時，若在交流電流的有效值與對稱法的直流電流相等，且磁場的感應強度也相等的情況下，根據式（7）和（8）可得：

其相對誤差為：

3? 樣品系統誤差計算及分析

在實驗室里，筆者用了TH-S型螺線管磁場實驗儀和TH-S型螺線管磁場測試儀（浙江天煌科技實業有限公司研制），對兩個樣品進行測量，限于篇幅，僅用一例。

3.1 測量數據及誤差計算

測試樣品：靈敏度為2.54mV·mA-1GS-1的硅晶片，螺線管匝數密度為111.70×102·m-1。

測量數據為表1和表2。

表1中，VH-m表示霍爾電壓的測量值，正值表示實際值方向與假定方向相同，若是負值表示實際值方向與假定方向相反（下同），VNRL-m表示能斯脫效應與里紀-勒杜克效應。

表2中，UH-m表示用交流法測得的霍爾電壓有效值，VE-m表示愛廷豪森效應引起電壓的測量值，EE表示其引起的相對誤差。

3.2分析圖表（圖1）

里紀-勒杜克效應產生的電壓值之和的測量值，ENRL表示其相對誤差，Vdm表示不等位電勢差的測量值，Ed表示其相對誤差。

筆者對兩個樣品用Origin工具繪制了霍爾電壓與工作電流間的擬合圖線，線性關系都比較理想，并發現它們均與霍爾電壓坐標軸有一很小的負向截距，該截距就是愛廷豪森效應引起電壓值，同時也表明測量數據是比較理想的。（圖2、圖3）

圖表中，不等位電勢差的測量值用了絕對值。

3.3 系統誤差分析

3.3.1 不等位電勢差及誤差

根據表1和表2的比較看到，在這四個副效應中，不等位電勢差最大，其量級與霍爾電壓基本是同級別的，所以測量儀器能較好的分辨出來，圖3表明，它較好的反映了與工作電流正比關系的理論值，也就驗證了關系式（5）是成立的。

不等位電勢差產生的相對誤差也最大，該樣品的平均相對誤差值達17.61%，另一樣品的平均相對誤差值也達8.77%。

3.3.2 愛廷豪森效應及誤差

愛廷豪森效應產生的電壓與不等位電勢差相比要小些，但其量級與不等位電勢差的量級相比差得不大，所以測量儀器也能較好的分辨出來，圖2表明，它也較好的反映了與工作電流正比關系的理論值，基本驗證了關系式（2）是成立的。

愛廷豪森效應平均相對誤差值該樣品為3.35%，另一樣品為2.78%，與其它文獻在5%以下的結論相符。

3.3.3 能斯脫效應與里紀-勒杜克效應及誤差

能斯脫效應與里紀-勒杜克效應產生電壓之和極小，是微伏量級，大約是不等位電勢差的千分之幾。若把前兩次測量誤差剔除后（由于電壓很小，測量儀器精度較低，儀器誤差影響較大），其平均相對誤差值該樣品為0.08%，另一樣品為0.05%。可見能斯脫效應和里紀-勒杜克效應對霍爾效應的影響極小，可以忽略不計。究其原因，是由于連接硅晶片兩端電極的接觸電阻極小（面結合），其差異更小，因而產生的焦耳熱極小，溫度差更小，且溫度差的建立要幾秒時間，它又不斷向周圍散發熱量，故在晶片里的熱流極小，其擴散電流極其微弱，大約是微安量級，它所產生的霍爾電壓（即能斯脫效應）是微伏量級，而里紀-勒杜克效應實際上是擴散電流產生的愛廷豪森效應，它的量級更小，是能斯脫效應的百分之幾，且通過分析，其極性與能斯脫效應的極性相反，因而這兩種效應之和對霍爾效應產生的影響極其微弱.在實驗測量中，由于能斯脫效應和里紀-勒杜克效應產生的電壓極其微弱，比測量儀表（讀到0.01毫伏）要小很多，故儀表顯示讀數的隨機性和外部環境的偶然性等因素反而起了主要作用，所以其測量值有時為正、有時為負就感到不奇怪了。

4? 結語

上面定量討論了在實驗室里用對稱法求能斯脫效應與里紀-勒杜克效應產生電壓之和和不等位電勢差產生電壓的測量計算式，結合交流法求愛廷豪森效應產生電壓的測量計算式，其測量計算式（9）、式（11）和式（14）是本文最重要的理論成果。

測量分析圖線表明，不等位電勢差的測量值與理論值相符性非常好，愛廷豪森效應產生電壓的測量值與理論值相符性也較好。

通過實驗測量表明，在霍爾效應中，不等位電勢差最大，其量級與霍爾電壓幾乎相當，產生的相對誤差較大，達百分之幾到幾十，其次是愛廷豪森效應，其相對誤差也達百分之幾，能斯脫效應和里紀-勒杜克效應產生的電壓極其微弱，只有霍爾電壓的萬分之幾，一般儀器無法分辨，所以其值在零點上下隨機波動，可以忽略不計。上面兩點是本文最重要的實驗成果。

由于霍爾晶片在實際使用中，不能像實驗室里那樣用對稱法或交流法來消除副效應的部分影響。根據在霍爾效應中，不等位電勢差的影響最大，其次是愛廷豪森效應，造成的原因主要是霍爾晶片的制造工藝水平，所以在制造時應注意晶體雜質分布的均勻性、材料密度的一致性、體形的規則性和引出電極的對稱性;在實際使用時，主要對已存在的影響用附加電路加以修正，以消除它們的影響，例可以用集成運算電路作為修正電路。這是本文在研究結論基礎上對制造工藝和實際使用中的兩點建議。

參考文獻：

[1]吳鋒，李端勇.大學物理實驗-基本篇[M].二版.北京：科學出版社，2009：152-157.

[2]吳思成，王祖銓.近代物理實驗[M].北京：高等教育出版社，2005：402-412.

[3]劉昶丁，柳紀虎.用交流方法削去霍爾效應中的副效應影響問題的探討[J].半導體技術，1987，14（1）：49-52.