圓錐截交線的投影分析與作圖方法

于淑靜　韓加好

摘要：明確了圓錐截交線的類型;分析了圓錐截交線的三面投影方法，理清了繪圖思路;通過典型圓錐截切體實例，對于不同形狀的截交線，展現了具體的作圖步驟、方法。

關鍵詞：圓錐;截交線;截切體;投影

0? 引言

在工程上含有圓錐截交線的零件有很多。為了正確清楚地表達零件的形狀，必須正確地畫出相應的截交線。[1]但由于其形狀多樣，較難繪制。下面我們通過一個典型圓錐截切體的投影分析與繪圖過程，理清其繪制思路與方法。

1? 圓錐截交線的類型

截交線可以通過單平面或多平面截切立體的方式產生。[2]當截平面與圓錐相交時，與圓錐的底平面產生的截交線是直線;與圓錐回轉表面產生的截交線有圓形、橢圓、雙曲線、拋物線和直線等五種情況。

2? 圓錐截交線的投影方法

截交線的形狀不同，其畫法也不同。如果是圓形，則找到圓心和半徑，再畫出弧線;如果是直線，則先找到兩端點的投影，再連接，如圖1所示;如果是非圓曲線，則采用求點連線的方法，如圖2所示。求點連線法，即先求出截平面與曲面上被截各條素線的交點，而后依次光滑連接。注意，要先找出特殊位置點，再補充一般位置點。所謂特殊位置點即最前、最后、最左、最右、最高、最低及輪廓素線上等一些點。[3]特殊位置點三面投影確定后，再在特殊位置點中間補畫一般位置點;在各個投影圖中依次光滑連接各投影點，即可完成其三面投影;最后完善圖形，完成作圖。

3? 圓錐截交線的畫法步驟

我們通過一個例子來學習圓錐截交線的具體畫法。如圖3所示，要求補畫圓錐截切體的三面投影圖。

第一步，幾何分析。由已知條件我們可以得知，該截切體被截切之前是軸線豎直放置的圓錐，其中，V面是已知視圖，H面和W面視圖需要我們補畫。

第二步，空間和投影分析。該立體被四個平面同時截切， M、P面為側平面，N面為水平面，Q面為正垂面。各段截交線在V面視圖均積聚為直線。

第三步，根據M、N、P、Q四個面的位置，初步判斷截交線的形狀。側平面M平行于軸線，并切過錐底，截交線為雙曲線和直線組成的封閉圖形。水平面N垂直于軸線，與P面相交，截交線為緯線圓的一段。側平面P面過錐頂和軸線，并與M、N面相交，截交線為兩條素線段。正垂面Q平行于素線，并與P面相交，截交線為拋物線。

第四步，逐段畫出各截交線的三面投影。為了便于看圖，我們在實體圖上把以下步驟中所取的點標示出來，如圖4所示。按照先易后難的原則，我們先畫相對簡單的N、P面上的截交線。

第一段，水平面N上的截交線在V、W面積聚為直線，在H面投影反映實形，為一段緯圓弧。先找到緯圓弧在圓錐轉向輪廓線上的點I、II、III在V面的投影1’、2’、3’。再根據投影關系，找到此三點在W的投影1”、2”、3”和在H面的投影1、2、3。從上往下看和從左往右看這些點都可見。在H面上，以s為圓心，以1s為半徑，在左側2、3之間畫出緯圓弧。在W面上，直線連接2”、3”，即為緯圓弧在W面的投影，如圖5所示。

第二段，側平面P上的截交線是直線，在W面投影反映實形，在其它兩面投影是類似形。先找到圓錐左右轉向輪廓線被N、Q面截取的端點II、III、IV、V在V面的投影2’、3’、4’、5’，再根據投影關系，找到點IV、V在W的投影4”、5”和在H面的投影4、5，并找到點II、III在W面和H面的投影。從上往下看和從左往右看這些點都可見。然后在W面直線連接2”、4”和3”、5”，在H面直線連接2、4和3、5，即為截交線在兩面的投影，如圖6所示。

第三段，正垂面Q上的截交線是拋物線，在V面投影積聚為直線，在W、H面投影為類似形，所以我們采用求點連線法來畫。先找到拋物線上前后轉向輪廓線上的點IV、V和最高點VI在V面上的投影4’、5’、6’，這三點是特殊位置點。再根據投影關系，找到此三點在W的投影4”、5”、6”和在H面的投影4、5、6。然后找到兩個一般位置點VII、VIII在V面上的投影7’、8’。注意，在求此兩點在W、H面的投影時，可以采用輔助平面法或者素線法，此處我們采用輔助平面法。所以，在V面視圖上，經過7’、8’點，作垂直于軸線的水平面，根據投影關系，在H面上找到緯線圓的半徑，以s為圓心畫弧。VII、VIII點是這個緯線圓上的點，根據從屬性，可以找到這兩點在H面的投影7、8。根據投影關系，找到VII、VIII點在W面的投影7”、8”。從上往下看和從左往右看這些點都可見。最后，在W和H面光滑連接各點，即為截交線在兩面的投影，如圖7所示。

第四段，側平面M上的截交線是雙曲線，在V、H面投影積聚為直線，在W面投影反映實形。先找到雙曲線上的最高點I和最低點IX、X，在V面上的投影1’、9’、10’。這三點是特殊位置點。再根據投影關系，找到此三點在H的投影1、9、10和在W面的投影1”、9”、10”。再找到兩個一般位置點XI、XII在V面上的投影11’、12’。求此兩點在W、H面的投影時，可以采用輔助平面法或者素線法，此處我們采用素線法。因此，經過XI、XII點和錐頂S作直線，分別交圓錐底圓為A、B點。找到A、B點在V的投影a’、b’和在H面的投影a、b。繼而找到SA、SB這兩條素線在H面的投影sa、sb。然后，根據從屬關系，找到XI、XII點在H面的投影11、12。根據投影關系，找到XI、XII點在w面的投影11”、12”。從上往下看和從左往右看這些點都可見。最后，在W面光滑連接各點，直線連接9”、10”，在H面直線連接9、10點，即為截交線在兩面的投影，如圖8所示。

第五步，完善圖形。首先，由于P和Q面相交于正垂線，從上往下看和從左往右看都可見，所以要在H和W面上畫出IV、V點之間的輪廓線。再補全圓錐的輪廓線。從左往右看，IV、V點以上的轉向輪廓線被截掉，以下的要補全。且底圓積聚為一條線，可見，要補全。從上往下看，IX、X點以右的底圓輪廓可見，要補全。完成后如圖9所示。

通過以上五大步，我們完成了圓錐截切體的三面投影圖。

4? 結論

求解圓錐的截交線，首先要明確截交線的空間形狀，針對不同的形狀采用不同的畫法。尤其是在畫非圓曲線時，要先找到截交線上的特殊位置點，再找一般位置點。并要會運用輔助平面法或者素線法找到一般位置點的投影。

參考文獻：

[1]余敏.抓“四點”繪制曲面立體截交線[J].教育教學論壇，2016，2：184-185.

[2]韓飛坡，陳華，朱全.關于單平面截切基本體截交線教學探討[J].赤峰學院學報，2019，35（3）：163-165.

[3]田福潤，陳光，劉玉潔.圓錐截交線上特殊點的求法[J].長春工業大學學報，2011，32（5）：507-509.

————————————

作者簡介：于淑靜（1979-），女，山東煙臺人，碩士，講師，研究方向為機械設計與制造。