關于齒輪齒根過渡曲線與齒根應力的關聯分析

譚英林 張浩

摘要：本文在介紹漸開線齒輪齒根過渡曲線的類型的基礎上，分析了齒根過渡曲線與齒根應力的關聯及解析計算方法，對于今后的齒輪設計具有一定幫助。

關鍵詞：齒根分析;齒根過渡曲線;齒根應力

0? 引言

當齒輪的轉速升高以后，輪街以及機械的變形也會隨之增大，另外由于在安裝和制造的過程中也會產生一定的誤差，所以從理論上來講，等同于兩個節圓作純滾動的漸開線齒輪傳動，所以應力集中現象容易發生在齒根過渡曲線處，則齒根過渡曲線處會產生漸開線齒輪的最大彎曲應力，而過渡曲線的形狀會直接決定彎曲應力的大小。因此合理選擇齒根過渡曲線，以提高彎曲強度具有重要意義[1，2]。

1? 齒根過渡曲線的類型

齒根過渡曲線是由齒輪刀具的刀頂部分加工出來的，所以齒根過渡曲線的形狀是根據刀頂曲線形狀所得出的。在加工齒輪時，用齒條型的刀具，等同于齒條齒輪的嚙合。在加工齒輪的過程中，齒輪的齒廓漸開線和齒根過渡曲線兩部分，分別是由齒條型刀具的直線部分和圓角部分進行切出。與此同時，在進行齒輪加工時，齒輪的節圓和刀具的加工節線作純滾動，所以可以得出齒輪過渡線是刀具圓角圓心所描出的延伸漸開線的等距曲線。

現階段，在采用齒條型刀具對齒輪進行加工時，在一般情況下，齒根過渡曲線有兩種表現形式（如圖1和圖2所示），圖1的過渡曲線表現形式為：當齒條型刀具頂部和齒廓頂部有兩個圓角的情況下，則表現為圖1（注：在圖1中，Ⅱ兩段為延伸漸開線的等距曲線，Ⅲ段為齒輪的根園圓弧）;圖2的過渡曲線表現形式為：當齒條型刀具頂部和齒廓頂部有一個圓角的情況下，則表現為圖2（注：在圖2中，1段為一整段延伸漸開線的等距曲線）;另外在圖2的齒根過渡曲線中，過渡曲線表現為一整段圓弧（即為國標推薦使用的齒輪齒根過渡曲線形式）。

2? 齒根彎曲應力的解析計算方法

圖3表示為一個輪齒，其齒寬為單位長度。A，B兩點對稱于坐標軸弘，AD和BD分別表示過渡曲線上的A點和占點的法線的方向。

在局部應力最大點，容易發生齒根彎曲疲勞裂紋，裂紋的方向指向曲線法線方向，所以對ADB截面上的應力規律進行重點分析，可以找到齒根局部的最大應力。

局部應力的計算公式為：

3? 齒根過渡曲線方程

當采用齒條型刀具加工齒輪時，雖然第一種和第二種曲線都為延伸漸開線的等距曲線，但是刀具齒廓參數有一定的差別，以下分別計算得出刀具齒廓參數間的關系：

對于第一種過渡曲線，刀具齒廓參數間具有如下關系：

對于第二種過渡曲線，刀具輪廓中參數間具有如下的關系：

其中，ha-刀具齒頂高;a-刀具圓角圓心Cp距離中線的距離;b-刀具圓角圓心Cp距離刀具齒槽中心線的距離;rp-刀頂圓角半徑;c-徑向間隙系數。

對于齒輪的加工用齒輪型的刀具。其中，？琢′為變參數，？琢′在？琢和90°之間范圍內變化。

所以延伸漸開線等距曲線上任意一點的曲率半徑為：

當采用齒條型刀具加工齒輪時，雖然第三種和第四種曲線都為延伸外擺線的等距曲線，但是刀具齒廓參數有一定的差別，以下分別計算得出刀具齒廓參數間的關系：

對于第三種過渡曲線，刀具齒廓其參數關系如下：

對于第四種過渡曲線，刀具齒廓其參數具有如下關系：

聯立上述兩式可以求得？琢t和？籽。

4? 計算結果分析

以下的計算，應用的是上文中所提到的公式，按照相關對應的公式，計算某種減速器第一級轉動的齒輪（齒輪的基本參數如表1所示），研究不同齒根過渡曲線處的齒根應力的大小。齒輪上作用切向力Ft=6800N，徑向力Fr=2500N。

在計算的過程中，為了計算方便以及更好的進行比較，將載荷作用于齒頂進行了假設，通過上文的公式，利用MATLAB軟件編程，得出圖4所示二維關系圖（其中橫坐標為？酌角的值，縱堆標為齒根應力？滓值）。

5? 結論

從圖4中得出，不同的曲線都有不同的值，也就是過渡曲線的局部最大應力的點。而齒根局部應力最大點，從過渡曲線中可以得知，由于曲線的不同，最大應力點也會各不相同。如表2所示，列出了齒根過渡曲線處的最大應力和出現最大應力的截面的位置角。

從結果數據可以看出，采用第五種過渡曲線的齒輪齒根彎曲強度最低，而其它四種過渡曲線的齒輪齒根彎曲強度都比第五種有所提高，提高的百分比（按照順序1-4）分別為：7.42%、8.57%、12%、13.71%。

參考文獻：

[1]袁哲，孫志禮，郭瑜.直齒圓柱齒輪齒廓修行曲線優化設計[J].機械傳動，2010（5）.

[2]任剛，楊秀麗，袁文武，等.誤差直線逼近齒輪過渡曲線的計算方法[J].機械，2010（5）.

[3]張玲玲.變位系數在齒輪設計中的應用[J].內燃機與配件，2019（16）：143-144.