怎樣求解排列組合問題

王坤

排列組合問題是高考中的必考題目.因此，我們必須熟練掌握求解排列組合問題的各種思路和方法.解答排列組合問題，除了課本中最基本的加法原理與乘法原理外，基本上沒有別的公式和原理可供使用，在解題時，我們必須根據問題的條件和要求，選擇恰當的解題方法來解題，下面介紹幾種解答排列組合問題的常規思路與方法.

一、捆綁法

當遇到了題干中的某幾個元素必須排列在一起的問題時，解題的第一選擇就是捆綁法.捆綁法是排列組合問題中常見的一種求解思路和方法，具體來說，捆綁法就是將必須排列在一起的幾個元素“捆綁”在一起，將“捆綁”在一起的元素看作一個元素，然后將這個元素和其他元素進行排列組合，再將“捆綁”在一起的元素進行排列.

例1.現有8個節目，5個節目由大人表演，3個節目由孩子表演，要求孩子的節目要排在一起表演，問有多少種不同的表演順序.

分析：由題目可知，在整個表演中，孩子的節目必須排列在一起，那么孩子的節目就可以看作是一個整體，先把孩子的節目這個整體與大人的節目進行全排列，再單獨對孩子的節目全排列，最后將兩個值相乘就是所求的答案.

二、插入法

若出現元素“不相鄰”的問題時，我們可以采用插入法.插入法的主要步驟是，先把沒有特殊限制的元素進行全排列，然后再把“不相鄰”元素插入無特殊限制的元素的空隙中，其中要注意結合題目的要求，考慮首尾兩端的空隙.

例2.某班級組織學生看話劇，總共有4位教師和8位學生，一排座位中，有12個座位，要求4位教師必須坐在8位學生中間，并且4位教師不可以坐在一起，總共有多少種不同的坐法？

分析：題干中提到的“不可以坐在一起”，提示了我們本題中涉及到的問題是不相鄰問題，教師就是其中的特殊元素，學生就是沒有特殊限制的元素，需要將教師的座位安排在學生的空隙中，然后對學生的座位和教師插空的座位分別進行全排列，最后將所得的結果相乘即可.

三、轉化法

如果遇到比較復雜或者比較抽象的問題，我們就可以巧用轉化法，把復雜的排列組合簡單化，把抽象的排列組合直觀化，將問題轉化為常規的問題來求解.在遇到難題時，我們要恰當使用轉化法.

例3.某學校的高一年級總共有8個班級，現學校要求高一年級組織一個籃球隊，籃球隊隊員共12人，每個班級中至少有一個人參加，問籃球隊隊員的名額分配有幾種方法？

分析：籃球隊12人中，8個班級至少存在一人，那么就需要將12個隊員分成了8份，將每份分給每個班級.我們可以把問題轉化為將12個完全相同的球排成一列，在中間的11空隙處放8個完全相同的“隔板”，每個空隙只能放一個“隔板”，這樣就可以將12個白球分成8份.而在11個空隙中分別放入8個完全相同的“隔板”有種方法;所以籃球隊隊員的名額分配有種方法.

以上介紹的幾種方法是求解排列組合問題的常規方法.除此之外，求解排列組合問題還有很多的方法，如剩余法、排除法等.在解題過程中，我們要根據不同的題目、不同的條件和要求，選擇合適的方法解題.而對于復雜的排列組合問題，我們還可以將捆綁法、插入法、排除法等幾種方法巧妙結合，以幫助我們迅速解題.

（作者單位：江蘇省泰興市第二高級中學）