三角恒等變換的四種常用方法

趙鑫

三角恒等變換在三角函數這一章中有著很重要的地位，在解答三角函數問題時我們常常需要用到各種三角恒等變換技巧進行恒等變換.這里總結了一些三角恒等變換的常用方法，希望同學們及時總結歸納.

一、降次與升次

降次與升次主要是將三角函數中的項的指數降低或者升高，從而使得解題過程簡化的一種變換方法.在運用降次與升次這一方法進行恒等變換時，同學們要學會巧妙地運用正弦、余弦、正切函數的二倍角公式及其變形.

例1.證明的值與x的取值無關.

分析：這個式子有一些復雜，有三個不同角的二次式、、，直接處理很麻煩，所以我們可以先利用余弦函數的二倍角公式降次，然后再進行化簡，這樣證明起來就會容易很多.

證明：

，

由此可見原式與x無關.

二、化弦法

化弦法主要是利用正弦，余弦，正切，余切，正割，余割這六個函數的基本關系進行互化，從而將函數式轉換為熟悉的正、余弦函數來解題的一種方法.常用到公式有，.

例2.求證.

分析：觀察這個式子，我們可以發現目標函數式等號兩邊的式子都含有正、余切函數，可利用，將函數式進行變形，從而證明等式成立.

證明：左邊，

右邊，

左邊=右邊.

三、常數代換

常數代換是三角恒等變換的一個常用技巧，常見的有“1”“”的代換，如等.在進行常數代換的過程中，同學們要注意結合函數結構和特征，選擇合適的代換式子將函數式中的常數進行代換，從而化簡函數式，使問題獲解.

例3.證明：.

證明：左邊

右邊 .

該函數式的左邊比較復雜，我們從左邊的式子開始，首先利用正弦函數的二倍角公式將角統一，然后利用“1”的代換，運用，從而使sin2x變換為，進而證明結論成立.

四、引入輔助角

對于同時含有正弦、余弦函數的三角函數式，我們常需要引入輔助角，利用輔助角公式將三角函數式轉換，.值得說明的是，這里輔助角所在的象限由a、b的符號確定，角的值由確定.通過引入輔助角，我們可以將三角函數式中的函數名統一，這有利于簡化三角函數式.

例4.求值.

分析：函數式中含有，它們之間存在著一定的聯系，所以我們可以先化切為弦，再引入輔助角，使用輔助角公式即可求出答案.

解：原式

.

以上的四種方法都是三角恒等變換的常用方法.在進行三角恒等變換時，同學們要注意觀察三角函數式中角、項的次數、函數名稱之間的差異，合理選擇恰當的恒等變換技巧，如降次與升次、化弦法、常數代換、引入輔助角等進行變換.

（作者單位：江蘇省啟東市匯龍中學）