證明不等式的幾種方法

李秋陽

不等式證明問題是高中數學中的一個重點，也是一個難點問題.證明不等式的方法多種多樣，常見的有分析法、作商法、作差法、反證法、放縮法等.在解題時，我們需要根據不同的題型進行分析，選擇合適的方法，這樣才能有效地提升解題的效率.

一、分析法

分析法是指通過分析題目中的不等式關系，從未知推出已知的方法，屬于一種逆向思維的方式.在解題中，我們一般采用“要證明……，即需證明……，只需證明……”的句式來證明結論.

二、數學歸納法

數學歸納法也是證明不等式的一種基本方法，常用于證明一個與正整數有關的不等式問題.在證明不等式時，我們可按下列步驟進行：

（1）證明當取第一個值（∈N）時不等式成立;

（2）假設=（≥，∈N）時不等式成立，證明當=時不等式也成立.

完成了這兩個步驟，我們就可以斷定要證明的不等式對從開始的所有正整數都成立.

例2.已知數列{}滿足=2（1），且=2-xn（xn）（∈N），證明：0<<1;

證明：￠ù當=1時，=2（1）?ê（0，1），不等式成立.

￠ú假設當=（?êN，≥1）時，結論成立，即?ê（0，1），

則當=+1時，=2-xk（xk），

因為?ê（0，1），所以2->0，即>0.

又因為_k-1=2-xk（xk-1）<0，所以0<<1.

綜合￠ù￠ú可知0<<1.

這里主要運用了數學歸納法，采用了上述步驟分別證明了當n=1和n=k+1時不等式均成立.

三、比較法

比較法主要有作商法和作差法.作商（差）法是通過將不等式左右兩邊的函數式進行作商（差），然后將得出的值與1（0）進行比較的方法.在證明不等式時，我們要根據不等式的結構特征選擇比較的方法，若不等式兩邊的式子是冪、對數、乘積的形式，一般選擇作商法;若不等式兩邊的式子是除式、和式、差式，一般選擇作差法.

在證明該不等式時，我們首先將不等式變形，通過作差得到一個與原不等式等價的新不等式，然后通過分解因式，利用完全平方公式和配方法證明了新不等式成立，從而證明結論成立.

證明不等式的方法多種多樣，并且每一種證明方法并不是孤立存在的，有時一道題目往往需要結合多種方法才能得以獲解，因此同學們要牢固掌握這些方法，并靈活地將它們應用于解題當中.

（作者單位：江蘇省包場高級中學）