因式分解方法的再探索

宋愛華

七年級3班的綜合實踐課上，小先生宋明哲要與同學們分享因式分解的第三種方法.

小先生：大家都會計算（ax + b）（cx + d） = acx2 + （ad + bc）x + bd.如果把這個式子反過來，就得到二次三項式acx2 + （ad + bc）x + bd的因式分解形式，即acx2 + （ad + bc）x + bd? = （ax + b）（cx + d）. 運用這個式子就可以把某些二次三項式分解因式.

學生1：我還不太明白，你能講講具體應該怎么操作嗎？

小先生：可利用畫十字交叉線分解（如圖1）.將二次項系數分解為兩因數a，c，寫在第一列，常數項分解為兩因數b，d，寫在第二列，交叉相乘所得結果相加應等于一次項系數ad + bc. 這種分解因式的方法稱為十字相乘法.

學生2：我現在有些懂了，對于多項式x2 + 5x + 6， 把二次項系數1分解為1×1，常數項6可分解為1×6，我來畫圖驗證下（如圖2），不對啊！ （x + 1）（x + 6） ≠ x2 + 5x + 6.

小先生：常數項6可分解為兩個同號整數的積（如圖3），即：6=1×6，6=（-1）×（-6），6=2×3，6=（-2）×（-3）.

顯然，由圖3知：x2 + 5x + 6 = （x + 2）（x + 3）. 注意：在借助畫十字交叉分解系數后寫分解結論時不能對角寫，應橫向寫.

學生3：我懂了，我來試試分解多項式2x2-5x-3. 先將二次項系數分解為1×2，常數項-3<0可分解成異號兩數的積，即（-1）×3或1×（-3）.如圖4，則2x2-5x-3分解為（x - 3）（2x + 1）.

小先生：太棒了！十字相乘法能把某些二次三項式a x2 + bx + c（a ≠ 0）分解因式.其關鍵在于把二次項的系數a分解成兩個因數a1，a2的積，把常數項c分解成兩個因數c1，c2的積，并使a1c2 + a2c1正好是一次項系數b，那么可以直接寫成：ax2 + bx + c = （a1x + c1）（a2x + c2）. 在運用這種方法分解因式時，要注意觀察各項系數的符號，多次嘗試，并體會它的實質就是整式乘法的逆運算，還可以用整式乘法公式驗證因式分解結果的正確性.