因式分解的妙用

宋文寶

星期天，同學們在家做“因式分解”自測題，大家有不少困惑，紛紛登陸“三人行”微信群，向數學課代表王志禹求教.

生1：呼叫小先生王志禹，江湖救急. “已知a + b = 5，ab = 3，求代數式a3b - 2a2b2 + ab3的值.”a，b的值我不會求，怎么代入求值啊？

小先生：利用已知條件很難求出a， b的值，但可將a + b 看作整體，將原式變形，尋找其中的a + b和ab .

生2：我知道了！a3b - 2a2b2 + ab3 = ab（a2 - 2ab + b2） = ab（a - b）2 = ab[（a + b）2 - 4ab]， 因為a + b = 5，ab = 3，所以a3b - 2a2b2 + ab3 = 3×（52 - 4×3）? = 3 ×13 = 39.

小先生：嗯，不錯，就是這樣.

生3：“當a，b 為何值時，多項式a2 + b2 - 4a + 6b + 18有最小值？并求出這個最小值.”這個問題需要幫忙.

小先生：求多項式的最小值，需把多項式轉化為幾個“非負數”與常數和的形式，即幾個完全平方式與常數和的形式.

生3：聽懂了！a2 + b2-4a + 6b + 18 = （a2 - 4a + 4） + （b2 + 6b + 9） + 5 = （a - 2）2 + （b + 3）2 +

5. 是這樣嗎？接下來呢？

生4：由 （a - 2）2 ≥ 0， （b + 3）2 ≥ 0可得（a - 2）2 + （b + 3）2 + 5 ≥ 5，即當a = 2，b = -3時，多項式有最小值，最小值為5.

小先生：不錯. 這道題大家做出來了嗎？試說明32020-4×32019 + 10×32018能被7整除.

生5：判斷一個式子能不能被某一個數整除，關鍵是能不能將這個式子變形成這個數與另一個式子的積的形式. 我利用了提公因式法，將其分解為“7×（ ）”的形式.

32020-4×32019 + 10×32018 = 32018×（32-4×3 +10） = 32018×7.

小先生：棒棒噠！我再出一題：設n為整數，試說明（2n + 1）2-25能被4整除.

生6：我來！運用公式法，將其分解成“4×（ ）”的形式，從而得證.

（2n + 1）2-25 = （2n + 1 + 5）（2n + 1 - 5） = （2n + 6）（2n - 4） = 4（n + 3）（n - 2）.

因為4（n + 3）（n-2）能被4整除，所以（2n + 1）2-25能被4整除.

小先生：你的解答十分透徹到位，真不錯. 因式分解的應用十分廣泛，在一些求代數式值的問題中，若能稍加變化創造條件，再運用因式分解，往往可以化難為易，快速解題.