幾何證明如何 找準入手點

陸青

例 如圖1，矩形ABCD中，延長CD到E，使CE = CA，F是AE的中點. 求證： BF⊥DF.

策略探索：幾何離不開圖形，故證明之前可先分解圖形如圖2.

基礎聯想：（1）矩形的性質. 由條件“CE = CA”，CA是矩形的對角線，聯想可能涉及矩形的對角線相等.

（2）直角三角形的性質. 由條件“F是AE的中點”，聯想可能涉及“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”.

（3）等腰三角形的性質. 由條件“F是AE的中點”，聯想可能涉及等腰三角形“三線合一”.

（4）中點（中線）的三種常見使用方法：構造中位線;倍延中線;構造全等三角形或平行四邊形.

一、從目標入手——如何證兩線互相垂直（一個角為直角）

思路1：證直角，找（造）直角.

解析：要證BF⊥DF，就在圖1中找相關的直角或構造相關的直角. F是等腰三角形CAE底邊AE的中點，連接CF，如圖3，利用等腰三角形的“三線合一”得CF⊥AE，可得∠1 + ∠3 = 90°，因此只要證得∠1 = ∠2即可.

由矩形ABCD得AB = DC，由F是Rt△ADE的斜邊AE的中點得FA = FD，所以∠4? = ∠5，

所以∠5 + 90°= ∠4 + 90°，即∠FAB = ∠FDC，得△FAB ≌ △FDC，所以∠1 = ∠2，

所以∠BFD = ∠3 + ∠2 = ∠3 + ∠1 = ∠AFC = 90°，所以BF⊥DF.

反思：由于目標是證∠BFD = 90°，而∠CFA = 90°，觀察圖形，連接BD，如圖4，可猜想△AFC ≌ △DFB. 請同學們嘗試寫出證明過程.

思路2：用勾股定理的逆定理證垂直.

解析：如圖5，連接FC，BD，BD與AC交于點O，

由矩形ABCD得AC = BD，

所以OA = OD，所以∠3 = ∠4.

由F是Rt△ADE斜邊的中點得FA = FD，

所以∠1 = ∠2，則∠FAC = ∠FDB，

所以△AFC ≌ △DFB，則FC = FB.

由CF⊥AE知∠CFE = 90°，則 EF 2 + FC2 = EC2.

因為F為Rt△ADE斜邊AE的中點，所以EF = DF.

又因為CE = CA = BD，所以DF 2 + BF 2 = BD2，

所以∠BFD = 90°（勾股定理的逆定理），所以BF⊥DF.

二、從條件入手——題目中的條件能有哪些啟示

思路3：有中點，找（造）中位線.

解析：如圖6，連接BD，交AC于點O，連接OF，

由矩形ABCD得點O為AC的中點，

又因為F為AE的中點，所以OF為△ACE的中位線，

可證∠OBF = ∠OFB，∠OFD = ∠ODF，

則2∠OFB + 2∠OFD = 180°，

所以∠BFD = 90°，所以BF⊥DF.

思路4：有中點（中線），倍延中線.

解析：如圖7，分別延長DF，BA交于點G，連接BD，

易證△AGF ≌△EDF （AAS），所以AG = ED，GF = DF.

因為AB = DC，所以AB + AG = DC + DE，即BG = CE.

又因為CA = BD = CE，所以BG = BD，

所以BF為等腰三角形BDG底邊上的中線，所以BF⊥DF.

反思：在圖7的基礎上連接GE，也可證得結論，請同學們嘗試寫出證明過程.

解析：如圖8，分別延長DF，BA交于G，分別延長BF，DE交于H，

連接GH，BD，易證△BAF ≌ △HEF，△AGF ≌ △EDF，

可得AB = HE，AG = ED，所以GB = HD.

因為GB∥HD，所以四邊形GBDH是平行四邊形.

又因為HE = AB = DC，所以HD = EC = AC = BD，

所以四邊形GBDH是菱形，

所以BF⊥DF （菱形的對角線互相垂直）.

解決數學問題必須要有良好的基本功：從條件入手，思考題目中的條件涉及哪些有關性質;從結論入手，分析要解答的問題常規有哪些途徑. 同學們在遇到問題時，多角度去思考，多途徑去探索，一定能找到恰當的解題方法.