一脈相承的兩個基本圖形

張倩

等邊三角形與正方形是大家非常熟悉的兩個基本圖形，共有的特點是每條邊相等，每個內角相等. 因此，這兩類圖形相關問題的解答有著一脈相承之處. 通過對下面一組問題的探索，希望同學們能由此及彼，舉一反三，真正領悟解決這類問題的思想方法.

一、與全等有關的問題

例1 如圖1，G是正三角形ABC的邊AB上一點，以BG為一邊作正三角形BGE，連接AE，CG，那么AE = CG. 為什么？

解析：因為△ABC和△BGE都是等邊三角形，

所以AB = BC，BE = BG，∠ABC = ∠EBG = 60°，

所以△AEB ≌ △CGB，所以AE = CG.

同類練：如圖2，G是正方形ABCD的邊AB上一點，以BG為一邊作正方形BGFE，連接AE，CG，那么AE = CG. 為什么？

例2 如圖3，E是正三角形ABC的邊BC上一點，CF是正三角形ABC的外角平分線，∠AEF = 60°，那么AE = EF. 為什么？

解析：如圖4，在AB上取一點P，使AP = CE，連接PE，

由正三角形ABC可知AB = BC，∠B = ∠ACB = 60°，

所以BP = BE，所以△BPE是等邊三角形，所以∠APE = 120°，

又因為CF是正三角形ABC的外角平分線，

所以∠BCF = 120°，所以∠APE = ∠BCF;

又因為∠1 + ∠AEB = 120°，∠2 + ∠AEB = 180°- ∠AEF = 120°，所以∠1 = ∠2，

所以△APE≌△ECF，所以AE = EF.

同類練：如圖5，E是正方形ABCD的邊BC上的一點，CF是正方形ABCD的外角平分線，∠AEF = 90°，那么AE = EF，為什么？

二、與求角度有關的問題

例3 如圖6，E，F分別是正三角形ABC的邊BC，AC上的兩點，BE = CF，連接AE，BF交于點P，求∠APF的度數.

解析：易證△ABE≌△BCF，所以∠1 = ∠2，又因為∠2 + ∠3 = 60°，所以∠1 +∠3 = 60°，所以∠APF = ∠1 + ∠3 = 60°.

同類練：如圖7，E，F分別是正方形ABCD的邊BC，CD上的兩點，BE = CF，連接AE，BF交于點P，求∠APF的度數.

例4 如圖8，分別以△ABC的兩邊AB，AC為一邊作正三角形ABD和正三角形ACE，連接BE，CD交于點P，求∠DPE的度數.

解析：易證△ADC≌△ABE，所以∠1 = ∠2，

又因為∠3 = ∠4，∠1 + ∠3 = 180°- ∠DAB = 120°，

所以∠2 + ∠4 = 120°，所以∠DPE = ∠2 + ∠4 = 120°.

同類練：如圖9，分別以△ABC的兩邊AB，AC為一邊作正方形ABED和正方形ACFG，連接BG，CD交于點P，求∠DPG.

三、與旋轉有關的問題

例5 如圖10，P是正三角形ABC內一點，PA = 3，PB = 4，PC = 5，求∠APB的度數.

解析：如圖11，將△BCP繞點B逆時針旋轉60°到△BAQ的位置，

可得AQ = CP = 5，BQ = BP = 4，∠QBP = 60°，所以△QBP為等邊三角形，得PQ = 4，

在△APQ中，因為AQ2 = AP 2 + PQ 2，所以∠APQ = 90°，

則∠APB = 60°+ 90°= 150°.

同類練：如圖12，P是正方形ABCD內一點，PA = 1，PB = ■，PC = ■ ，求∠APB.

四、與勾股定理有關的問題

例6 如圖13，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，分別以AC，BC，AB為邊向外作正方形，面積分別是S1，S2，S3，試判斷S1，S2和S3之間的數量關系.

解析：設Rt△ABC的三邊長分別為a，b，c，則S1 = b2，S2 = a2，S3 = c2.

又因為a2 + b2 = c2，所以S1 + S2 = S3.

同類練：在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，分別以AC，BC，AB為邊向外作等邊三角形ACD、等邊三角形BCE、等邊三角形ABF，它們的面積分別是S1，S2，S3，試判斷S1，S2，S3之間的數量關系.