“一線三等角”模型在中考中的應用

潘道生

如圖1，若∠AEF = ∠B = ∠C = α，則△ABE∽△ECF.

事實上，在△ABE和△ECF中，∠AEF + ∠FEC = ∠A + ∠B，而∠AEF = ∠B，∴∠A = ∠CEF，又∵∠B = ∠C，∴△ABE∽△ECF.

我們把這個模型稱為“一線三等角”模型，下面舉例說明其在中考中的應用.

一、模型具備直接用

例1（2019·黑龍江·齊齊哈爾）將邊長為4的等邊三角形AND沿直線GH折疊，使點A落在邊ND上的點A′處，如圖2. 若[A′NA′D] = [mn]，則[AGAH] = （用含m，n的代數式表示）.

分析：由∠N = ∠GA′H = ∠D = 60°，可知△GA′N∽△A′HD，得到比例式. 設[A′NA′D=mn=a]，[A′G=AG=x]，[A′H=AH=y]，則[A′N=am]，[A′D=an]，[GN=4-x]，[DH=4-y]，代入上述比例式求出x和y的關系可得答案.

解：由∠N = ∠GA′H = ∠D = 60°，可知△GA′N∽△A′HD，得[A′GA′H=A′NDH=GNA′D]. 設[A′NA′D=mn=a]，[A′G=AG=x]，[A′H=AH=y]，則[A′N=am]，[A′D=an]，[GN=4-x]，[DH=4-y]，[∴][xy=am4-y=4-xan]，解得[x=am+44+any]，[∴][AGAH=am+44+an=am+am+anam+an+an=2m+nm+2n].

點評：當題目中出現圖1中的基本圖形時，可直接應用基本圖形的性質來求解.

二、模型不全補形用

例2（2019·重慶A卷）如圖3，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A，D分別在x軸、y軸上，對角線BD[?]x軸，反比例函數y = [kx]（k > 0，x > 0）的圖象經過矩形對角線的交點E. 若點A（2，0），D（0，4），則k的值為（ ）.

A. 16 B. 20 C. 32 D. 40

分析：根據A（2，0），D（0，4）可知OA = 2，OD = 4. 由于圖3中已有∠DAB = ∠DOA = 90°，因此過點B作BF⊥x軸于點F，構造“一線三等角”模形，則有△AOD∽△BFA. 由BD[?]x軸，可知BF = OD = 4，從而可求出AF的長，進而得到點E的坐標，求出k的值.

解：過點B作BF⊥x軸于點F，則∠AFB = ∠DOA = 90°. ∵四邊形ABCD是矩形，∴ED = EB，∠DAB = 90°，∴△AOD∽△BFA，∴[OABF=ODAF]. ∵BD[?]x軸，A（2，0），D（0，4），∴OA = 2，OD = 4 = BF，∴[24=4AF]，∴AF = 8，∴OF = 10，∴E（5，4）. ∵雙曲線y = [kx]過點E，∴k = 5 × 4 = 20，故選B.

點評：求點的坐標時，通常會作坐標軸的垂線構造全等三角形或相似三角形來處理.

三、無中生有創新用

例3（2019·湖北·武漢）已知AB是⊙O的直徑，AM和BN是⊙O的兩條切線，DC與⊙O相切于點E，分別交AM，BN于D，C兩點.

（1）如圖4，求證：AB2 = 4AD·BC;

（2）如圖5，連接OE并延長交AM于點F，連接CF. 若∠ADE = 2∠OFC，AD = 1，求圖中陰影部分的面積.

分析：（1）連接OC，OD，構造出“一線三等角”模型，證明△AOD∽△BCO，得出[ADBO] = [OABC]，即可證明結論;（2）連接OD，OC，證明△COD≌△CFD得出∠CDO = ∠CDF，求出∠BOE = 120°，由直角三角形的性質得出BC = 3，OB = [3]，由圖中陰影部分的面積 = 2S△OBC - S扇形OBE，即可得出結果.

解：（1）連接OC，OD，如圖4. ∵AM和BN是圓的兩條切線，∴AM⊥AB，BN⊥AB，

∴AM[?]BN，∴∠ADE + ∠BCE = 180°.

∵DC切⊙O于E，∴∠ODE = [12]∠ADE，∠OCE = [12]∠BCE，∴∠ODE + ∠OCE = 90°，

∴∠DOC = 90°，∴∠AOD + ∠COB = 90°.

∵∠AOD + ∠ADO = 90°，∴∠AOD = ∠OCB.

∵∠OAD = ∠OBC = 90°，∴△AOD∽△BCO，∴[ADBO] = [OABC]，

∵OA = OB，∴OA2 = AD·BC，∴[12AB]2 = AD·BC，∴AB2 = 4AD·BC.

（2）連接OD，OC，如圖5.

∵∠ADE = 2∠OFC，∴∠ADO = ∠OFC.

∵∠ADO = ∠BOC，∠BOC = ∠FOC，∴∠OFC = ∠FOC，∴CF = OC，

∴CD垂直平分OF，∴OD = DF.

又∵CD = CD，∴△COD≌△CFD（SSS），∴∠CDO = ∠CDF.

∵∠ODA + ∠CDO + ∠CDF = 180°，∴∠ODA = 60° = ∠BOC，∴∠BOE = 120°.

在Rt△DAO中，AD = [33]OA.

在Rt△BOC中，BC = [3]OB，∴AD∶BC = 1∶3.

∵AD = 1，∴BC = 3，∴OB = [3]，

∴圖中陰影部分的面積 = 2S△OBC - S扇形OBE = 2 × [12] × [3] × 3 - [120π×（3）2360] = 3[3] - π.

點評：添加輔助線，構造出基本模型是解題的關鍵.