圓易錯點剖析

鮮應全

一、對基本概念理解不深

例1 有下列結論：①平分弦的直徑垂直于弦;②圓周角的度數等于圓心角的一半;③等弧所對的圓周角相等;④直徑不是弦;⑤頂點在圓周上的角是圓周角. 其中正確的說法有（ ）.

A. 1個 B. 3個 C. 4個 D. 5個

解析：只有③正確，故選A.

易錯點剖析：（1）垂徑定理中，忽略被平分的弦不能是直徑;（2）忽略只有在同圓或等圓中，圓周角的度數才等于相應圓心角的一半;（3）忽略直徑是圓中一條特殊弦;（4）圓周角的定義中，忽略角的兩邊與圓相交.

跟蹤練習1 下列命題：①頂點在圓周上的角是圓周角;②圓周角的度數等于圓心角度數的一半;③90°的圓周角所對的弦是直徑;④同弧所對的圓周角相等. 正確的是（ ）.

A. ①③ B. ③④ C. ①②③④ D. ②④

答案：B.

二、混淆圓錐的半徑與圓的半徑

例2 用一直徑為10 cm的玻璃球和一個圓錐形的牛皮紙紙帽可以制成一個不倒翁玩具，不倒翁的軸剖面圖如圖1所示，圓錐的母線AB與⊙O相切于點B，不倒翁的頂點A到桌面的最大距離是18 cm. 若將圓錐形紙帽的表面全涂上顏色，則需要涂色部分的面積約為 cm2.（精確到1cm2）

解析：利用勾股定理可求得圓錐的母線長，進而過B作出垂線，得到圓錐的底面半徑，利用圓錐的側面積 = 底面周長 × 母線長 ÷ 2進行計算.

直徑為10 cm的玻璃球，半徑OB = 5 cm，所以AO = 18 - 5 = 13（cm），

由勾股定理得，AB = 12 cm，

∵BD × AO = AB × BO，∴BD = [AB×BOAO] = [6013]（cm）.

圓錐底面周長 = 2 × [6013]π（cm），

圓錐側面積 = [12] × 2 × [6013]π × 12 = [72013]π ≈ 174（cm2）.

故填174.

易錯點剖析：此類問題易犯的錯誤為，將圓錐的半徑與底面圓的半徑相混淆.

跟蹤練習2 已知直角三角形的兩直角邊長分別為4 cm、3 cm，將該直角三角形以較短直角邊所在直線為軸旋轉一周，得到的幾何體的全面積是（ ）.

A. 9π cm2 B. 16π cm2 C. 20π cm2 D. 36π cm2

答案：D.

三、不注意分類討論

例3 如果點O為△ABC的外心，∠BOC = 70°，那么∠BAC等于（ ）.

A. 35° B. 110° C. 145° D. 35°或145°

解析：此題分兩種情況：

根據圓周角定理，（1）如圖3①，當點O在三角形的內部時，則∠BAC = [12]∠BOC = 35°;

（2）如圖3②，當點O在三角形的外部時，則∠BAC = [12] × （360° - 70°） = 145°.

故選D.

易錯點剖析：（1）誤認為三角形的外心與內心一樣，只能在三角形內部;（2）與圓有關的位置問題，忽視分類討論.

跟蹤練習3 已知⊙O1和⊙O2相切，⊙O1的直徑為9 cm，⊙O2的直徑為4 cm. 則O1O2的長是（ ）.

A. 5 cm或13 cm B. 2.5 cm

C. 6.5 cm D. 2.5 cm或6.5 cm

答案：D.

（作者單位：甘肅省定西市隴西縣寶鳳初級中學）