一元二次方程易錯點剖析

王繼武

一元二次方程是初中數學的重要內容，也是中考必考內容. 本文就該內容的常見錯誤類型分類解析如下，以供參考.

一、忽視二次項系數不等于零

例1 關于x的方程（m - 2）x∣m∣ - mx + 6 = 0是一元二次方程，則它的一次項系數是（ ）.

A. -2 B. 2和-2 C. 2 D. 2或-2

解析：由題意得：∣m∣ = 2且m - 2 ≠ 0.

解得m = 2或m = -2且m ≠ 2. 故m = -2.

則方程的一次項系數-m = 2.

故選C.

易錯點剖析：此類題的常見錯誤是忽視一元二次方程中二次項系數不為0，從而誤選B或D.

二、忽視一元二次方程有根的條件

例2 關于x的方程x2 + 2（k + 2）x + k2 = 0的兩根之和大于-4，則k的取值范圍是（ ）.

A. k > 1 B. k < 0 C. -1 < k < 0 D. -1 ≤ k < 0

解析：設關于x的方程x2 + 2（k + 2）x + k2 = 0的兩根為a，b，

由根與系數的關系得：a + b = -2（k + 2）.

∵關于x的方程x2 + 2（k + 2）x + k2 = 0的兩根之和大于-4，

∴-2（k + 2） > -4，解得k < 0.

又∵方程有兩個根，∴Δ = [2（k + 2）]2 - 4k2 = 16k + 16 ≥ 0，解得k ≥ -1.

綜上，得-1 ≤ k < 0.

故選D.

易錯點剖析：此類題的常見錯誤是只注意到兩根之和大于-4，而忽視了“一元二次方程有根”這一隱含條件.

三、忽視結果的正負性

例3 若（x2 + y2）2 - 5（x2 + y2） - 6 = 0，則x2 + y2的值為（ ）.

A. -1 B. 6或-1 C. 6 D. -6或1

解析：設x2 + y2 = t（t ≥ 0），

則原方程轉化為關于t的一元二次方程t2 - 5t - 6 = 0，解得t = 6或t = -1.

∵x2 ≥ 0，y2 ≥ 0，∴x2 + y2 ≥ 0，即t ≥ 0.

∴t = 6，即x2 + y2 = 6.

故選C.

易錯點剖析：此類問題的常見錯誤是用換元法解出t后，忽視結合其取值范圍進行取舍.

四、思維定式

例4 關于x的方程（k2 - 1）x2 - 2（k + 1）x + 1 = 0有實數根，則k的取值范圍是（ ）.

A. k ≥ -1 B. k ≥- 1且k ≠ 1

C. k > -1 D. k > -1且k ≠ 1

解析：分兩種情況：

①k2 - 1 = 0， -2（k + 1） ≠ 0即k = 1時，原方程為一元一次方程，一定有實數根;

②k2 - 1 ≠ 0，即k ≠ ±1時，原方程為一元二次方程，

則根的判別式Δ = [-2（k + 1）]2 - 4（k2 - 1） ≥ 0.

解得k ≥ -1.

綜上，得k > -1.

故選C.

易錯點剖析：此類問題的常見錯誤是“習慣性”地認為原方程是一元二次方程，而忽視了一元一次方程的情況.

五、方程兩邊同除以同一個因式時漏根

例5 用因式分解法解方程2（x - 2）2 = x2 - 4.

解析：分解因式，得2（x - 2）2 = （x + 2）（x - 2），

移項得2（x - 2）2 - （x + 2）（x - 2） = 0，

再分解因式，得（x - 2）[2（x - 2） - （x + 2）] = 0，

即（x - 2）（x - 6） = 0，即x - 2 = 0或x - 6 = 0，

解得x1 = 2，x2 = 6.

易錯點剖析：此類問題的常見錯誤是將右邊分解因式后，不考慮x - 2 = 0的情況，直接在兩邊同除以x - 2，導致漏掉x = 2這個根.