令人左右為難的悖論

林革

塞萬提斯（1547—1616）是西班牙文藝復興時期最杰出的現(xiàn)實主義小說家. 他的代表作《堂吉訶德》是聞名遐邇的世界文學名著，在全球范圍影響深遠.

小說中敘述了一個有趣的故事，堂吉訶德的仆人桑喬·潘薩成了一個島的國王，不知是隨心所欲，還是心血來潮，他竟然頒布了一條奇怪的法律——每一個到達這個島的人都必須回答一個問題：“你到這里來做什么？”若說真話，就允許上島游玩;若說假話，就要被絞死. 很明顯，對于每一個有意無意來到島上的人，都有可能被認為說假話而送上絞架，風險實在太大，因此一直沒人敢貿(mào)然上島. 一直到有個膽大包天的智者出現(xiàn)，才算徹底打破了這個局面.

當時，國王照例讓手下向這位智者詢問：“你到這里來做什么？”智者不假思索地回答：“我到這里來是要被絞死的！”桑喬·潘薩一聽立刻愣住了，因為他發(fā)現(xiàn)自己陷入兩難境地：如果認為他說的是真話，當然就是要絞死，可根據(jù)國王的法律說真話者應該上島游玩而不是上絞架，前后產(chǎn)生矛盾;如果認為他說的是假話，根據(jù)法律就要上絞架，可一旦上了絞架，那他說的“要被絞死”就成了真話，他就應該上島游玩而不是上絞架，前后又產(chǎn)生矛盾. 桑喬·潘薩這才發(fā)現(xiàn)國王一點兒也不好當，自己頒布的這條法律竟然完全無法執(zhí)行. 他冥思苦想仍始終無法擺脫兩難的境地，最后只能讓手下釋放了這位有備而來的智者，并且宣布這條有漏洞的法律作廢.

這個故事的本質(zhì)其實就是數(shù)學中的悖論，所謂悖論就是讓人自相矛盾、左右為難的問題. 為了強化大家對悖論的印象，下面再介紹一個由著名數(shù)學家伯特蘭·羅素（1872—1970）提出的悖論.

歐洲某國的一個偏僻的小城鎮(zhèn)里，只有一個理發(fā)師，他對自己的手藝非常自負，漸漸地對自己的判斷也自信起來. 于是他在店門上貼出公告：本人鄭重承諾，只給那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)，絕無例外. 沒有誰對這則看似平常的公告提出疑問，直到聰明的湯姆來理發(fā).

湯姆一到門口就被店門上的公告吸引住了，然后便哈哈大笑，弄得理發(fā)師“丈二和尚摸不著頭腦”. 看到湯姆那頭又臟又長的頭發(fā)，理發(fā)師有點不屑一顧.

“小不點兒，如果是來理發(fā)，就待在那邊靜靜地等，別高興得那么早啊！”理發(fā)師話里帶刺.

“我笑只不過是因為這店門上的公告有問題，看來您太過于自信了，或者可以說是有點兒笨. ”湯姆也是話中有話.

理發(fā)師一聽這話就不樂意了：“公告有問題？”

“沒錯！”湯姆點點頭.

“那好，只要你能說服我，我免費為你服務. 不過你要說不通，對不起，那就得破回例，讓你自己給自己理發(fā). ”理發(fā)師明顯有點惱火.

“好啊！”胸有成竹的湯姆和理發(fā)師耳語了兩句，理發(fā)師一下子就愣住了，琢磨了一會兒，便一言不發(fā)地為湯姆理發(fā).

理發(fā)師沮喪地將湯姆送出店門，一把將公告扯下來撕個粉碎.

顧客們紛紛問其中的緣由，理發(fā)師面紅耳赤地扭捏了半天才道出原委. 原來湯姆問理發(fā)師：“你的頭由誰來理呢？”

這個問題一針見血點中漏洞：如果理發(fā)師不給自己理發(fā)，那他就是一個不給自己理發(fā)的人，根據(jù)承諾他就應該給自己理發(fā);而如果理發(fā)師給自己理發(fā)，那他就是一個給自己理發(fā)的人，根據(jù)承諾他又不能給自己理發(fā). 出現(xiàn)如此矛盾的情況，理發(fā)師不好處理自己的理發(fā)問題，所以只能自認倒霉嘍！

眾所周知，數(shù)學理論體系相當嚴密完備，并經(jīng)得起推敲，而事實存在的悖論卻幾乎動搖了數(shù)學堅實的基礎. 羅素的這個悖論就使集合理論產(chǎn)生了危機. 德國著名邏輯學家弗里茲在其所撰的集合基礎理論著作《算術的基本法則》付印時，收到了羅素關于這一悖論的信. 他沮喪地發(fā)現(xiàn)，自己付出無數(shù)心血的工作有可能付諸東流. 盡管著作出版問世，可憂心忡忡的他在書尾這樣寫道：“一個科學家所碰到最倒霉的事，莫過于是在他的工作即將完成時卻發(fā)現(xiàn)所干的工作的基礎崩潰了. ”還有一位德國著名數(shù)學家戴德金也因此推遲了《什么是數(shù)的本質(zhì)和作用》一書的再版. 可以說，悖論就像在平靜的數(shù)學水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導致了第三次數(shù)學危機.

令人欣慰的是，悖論的出現(xiàn)逼迫數(shù)學家投入最大的熱情去解決它. 而在解決悖論的過程中，各種數(shù)學理論應運而生，現(xiàn)代數(shù)學也得以更為蓬勃地發(fā)展. 可以毫不夸張地說，數(shù)學家對于悖論的研究，不僅大大開拓了數(shù)學空間，而且有力地推進了理論基礎的研究，使數(shù)學更堅實地建立在牢固的基礎之上. 就此而言，悖論可謂功不可沒.

（作者單位：揚州職業(yè)大學）