極端化策略巧解趣味題

林革

大家對這樣一個數學游戲可能都不陌生吧？兩個人往一張普通的圓桌上輪流放一枚硬幣，雙方交替進行直到圓桌上鋪滿硬幣為止. 規則是：每一枚硬幣都必須平放在桌上而且不許重疊，誰在桌上放下最后一枚硬幣，誰就獲勝. 對于“最后一枚”的通俗解釋就是，誰放下硬幣后剛好鋪滿圓桌，而對方無處可放. 表面上看起來，這是一個隨機擺放的游戲，需要很長時間才能確定誰是最后的贏家，似乎難以判斷先放者獲勝還是后放者會贏. 而事實上，其結果完全可以預判知曉，那就是：選擇先放的一方必獲勝. 因為先放的甲方把第一枚硬幣放在圓桌的中心處，正是獲勝的關鍵步驟，后放的乙方把硬幣放在圓桌的任何一點，甲方只要把硬幣放在與此點中心對稱的位置上，如此依次操作，不難想象桌面的空隙越來越小，而甲方肯定能確保自己在圓桌放下最后一枚硬幣，從而鋪滿圓桌獲勝.

我們還可以采用最直接也是最令人信服的極端化策略來說明此問題. 眾所周知，一枚硬幣絕不會比一張圓桌大，可為了簡化問題方便思考，我們就假想硬幣慢慢增大，當然也可以想象圓桌漸漸減小，總之最為極端的情形就是“硬幣與圓桌一樣大”. 有了這樣特殊的前提條件，勝負判斷立刻變得輕而易舉，甚至一目了然. 先放的甲方必定獲勝，后放的乙方肯定落敗. 因為甲放了一枚與圓桌一樣大小的硬幣后，乙已經無法再放，只能認輸. 這種極端化思維可謂奇特精妙的解決之道.

在解數學題時這種極端化思維并不罕見，有些題目的數量關系復雜而又特殊，采用一般的解題方法很難奏效，而一旦從最特殊的情境出發來考慮問題或是考察某些極端元素，問題的本質就能充分地顯露，從而起到化繁為簡輕松順利解決問題的奇效.

世界著名的微軟公司招聘時曾出過一道極具迷惑性的面試題：如果有兩個桶，一個裝有紅色顏料，另一個裝有藍色顏料. 你從藍色顏料桶里舀一杯倒入紅色顏料桶，再從紅色顏料桶里舀一杯倒入藍色顏料桶. 兩個桶中紅藍顏料的比例哪個更高？

這道面試題的原始版本出自《思辨數學與算法數學》一書，作者是曾任國際數學教育委員會主席的弗賴登塔爾. 這位極負盛名的荷蘭數學家在書中提出問題：“設有白酒與紅酒各一杯，分量相同. 現從白酒杯中舀一匙放入紅酒杯中，調勻后，舀回一匙放進白酒杯中. 問白酒杯中所含的紅酒是否少于紅酒杯中所含的白酒？”不難看出，微軟面試題與之本質相同，只是改編后更為貼近生活實際.

事實證明，面試者如果根據直覺進行判斷就會在不知不覺中誤入歧途. 因為許多人都認為，第一次是從白酒杯中舀一匙放入紅酒杯中，那么混合均勻后，在這個紅酒杯中白酒占的比例較少，但再從紅酒杯中舀一匙倒入白酒杯中，這一匙里已不是純粹的紅酒，還含有一些白酒，此時白酒杯中的白酒會多一些，即白酒杯中的紅酒會比紅酒杯中的白酒少一些. 果真如此嗎？

我們不妨來分析一番：設紅（白）酒杯的體積為x，一匙酒的體積為y，則完成第一次操作后，紅酒杯中白酒占混合酒的[yx+y]，完成第二次操作后，則紅酒杯中還有混合酒（x + y） - y = x，可求出此時紅酒杯中的白酒還有[yx+y]·x = [xyx+y];而兩次操作后，白酒杯中的紅酒就是舀來的一匙混合酒中的紅酒，顯然混合酒中紅酒占混合酒的1 - [yx+y]，因此這一匙中的紅酒為y·[ ][1 -yx+y] = [xyx+y]，也就是說，紅酒杯中的白酒和白酒杯中的紅酒一樣多. 同理，微軟公司面試題的兩個桶中紅、藍顏料的比例也相同.

結論雖然得出，但過程相對煩瑣，那有沒有更為簡捷直觀的解答呢？回答是肯定的. 弗賴登塔爾鼎力推薦的巧解正是獨具匠心的極端化策略. 因為兩個杯子最終所裝酒的分量相同，想象每杯中的白酒與紅酒自動分離，則白酒杯中之紅酒是來自紅酒杯中之所失，而紅酒杯中所失的分量正好由白酒置換. 因此，白酒杯中所含的紅酒與紅酒杯中所含的白酒自然一樣多.

除此之外，微軟公司還認可更為極端的巧解：假定兩個酒杯中都只各有一匙紅酒、白酒，完成第一次操作后，紅酒杯中有兩匙混合酒，此時紅白或白紅比例是一樣的，接著再進行第二次操作，也就是把兩杯比例相同的混合酒一分為二，顯然，最后兩酒杯中的紅酒、白酒的比例一樣.

細細品味上述數學趣題和游戲的極端化策略，確實非同凡響，令人耳目一新. 我們也受到了啟發：直覺思維盡管具有直達目標的跳躍特征，但有時會產生想當然的誤導，它并非對所有問題都適用. 而極端化思維能夠從整體準確地把握各部分的關系，輕易突破問題的關鍵，不失為解決問題的奇招利器.

（作者單位：揚州職業大學）