阿貝爾與數形結合

林革

阿貝爾（1802—1829）是挪威著名數學家，很早就展露出過人的數學天賦. 他18歲開始潛心研究數百年懸而未決的難題 ——求解五次方程，見解之深刻與其年齡極不相稱，但阿貝爾杰出的數學才華和研究成果在當時并未受到特別重視. 懷才不遇和生活貧寒的雙重打擊令這位數學天才患上重疾，最終英年早逝. 在他去世后不久，數學界認識到他的貢獻，榮譽和褒獎接踵而來. 事實證明，阿貝爾短暫一生的研究工作對近代數學產生深刻且巨大的影響，許多概念、公式和定理都與阿貝爾聯系在一起，當代數學家一直在其開辟的數學領域繼續探索耕耘. 為此，挪威政府于2003年設立了金額高達80萬美元的數學杰出成就獎——阿貝爾獎，以鼓勵當代數學家以阿貝爾為榜樣，不畏艱苦、堅定信念向數學高峰攀登. 這個獎項結束了諾貝爾獎沒有數學獎的尷尬.

值得一提的是，阿貝爾非常注意并擅長運用數形結合思想，下面這則軼事就是佐證.

后來，阿貝爾遇到一道證明題：周長一定的矩形中，正方形面積最大. 顯然，采用純幾何方法證明它似乎并不順利，全班同學冥思苦想卻一籌莫展. 只有阿貝爾靈機一動，腦海中浮現出圖1：能否用數形結合的方法進行證明呢？嘗試之下真就豁然開朗了.

而此時矩形恰恰變成如圖3所示的邊長為k的正方形.

不難看出，正是由于阿貝爾對數形結合的理解和運用了然于胸，證明才顯得格外直觀、巧妙簡捷. 如果你意猶未盡，那么請觀察圖4的特征，嘗試從中探究推斷出某些數學結論.

可以判斷的是，圖4是由四個長為a、寬為b的矩形組合而成邊長為a + b的大正方形，居中還圍成一個邊長為a - b的小正方形，因此，大正方形面積 = 小正方形面積 + 四個矩形的面積，即（a + b）2 = （a - b）2 + 4ab，這個大家都很熟悉.

如果把四個矩形沿對角線剪開，那么四個直角邊為a，b的直角三角形仍可以繼續組成邊長為斜邊c的較大正方形，居中仍圍成邊長為a - b的小正方形.

有沒有眼前一亮的感覺？斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和，這不正是鼎鼎大名的勾股定理嗎？沒錯，從圖4到圖5可以水到渠成地證明勾股定理，而且幾乎是“得來全不費功夫”. 由此看來，數形結合思想果然有別具一格、曲徑通幽的奇效！

（作者單位：揚州職業大學）